Wurzel 11 konstruieren - so wird's gemacht

Wurzel 11 - der Pythagoras hilft

1. Die Wurzel aus 11 (mathematisch √11) ist eine Dezimalzahl mit unendlich vielen Stellen. Mit dem Taschenrechner lassen sich die ersten Stellen dieser Zahl bestimmen. Darüber hinaus gibt es die Möglichkeit, nur mit Zirkel und Lineal eine Strecke der Länge √11 zu konstruieren, die - je nach Genauigkeit Ihrer Arbeit - diese Zahl darstellt.
2. Der Trick ist, ein rechtwinkliges Dreieck zu zeichnen, dessen eine Kathete die Länge √11 ist. Die andere Kathete und die Hypotenuse müssen Sie als ganze Zahlen nach dem Satz des Pythagoras passend wählen, eine nicht ganz leichte Aufgabe und hier durch Probieren zu lösen.
3. Es gilt nämlich 36 = 25 + 11 oder, als Quadrate geschrieben, 6² = 5² + (√11)². Entsprechend müssen Sie ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren, dessen Hypotenuse c = 6 cm und dessen eine Kathete a = 5 cm hat. Die andere Kathete hat dann eine Länge von b = √11. 
4. Die Abbildung 1 zeigt Ihre Vorgehensweise: Zeichnen Sie zunächst die Hypotenuse c mit einer Länge von 6 cm. Sie können die beiden Streckenpunkte mit A und B bezeichnen.
5. Nun errichten Sie über dieser Strecke den sog. Thaleskreis. Das ist ein Halbkreis, dessen Radius die Hälfte von c beträgt. Dieser "erzeugt" Ihnen den gewünschten rechten Winkel (Satz von Thales).


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6. Nun nehmen Sie die Kathete a = 5 cm in den Zirkel und zeichnen einen Kreis um den Punkt B.
7. Dieser Kreis trifft den Thaleskreis im Punkt C; dort ist der geforderte rechte Winkel.
8. Verbinden Sie noch Punkt C mit Punkt A und Sie erhalten die gewünschte Länge von Wurzel 11 als Kathete.

So konstruieren Sie beliebige Wurzeln

Wie die Ausführungen gezeigt haben, lassen sich durch geschickte Wahl von Hypotenusen und Katheten Wurzeln konstruieren, im Beispiel Wurzel 11. Allerdings scheitert diese Methode schon bei √19. Hier lassen sich keine pythagoreischen ganzen Zahlen finden, mit denen Sie die Konstruktion durchführen können. Allerdings können Sie mit dem Höhensatz im rechtwinkligen Dreieck prinzipiell alle Wurzeln konstruieren:

1. Der Höhensatz macht eine Aussage über die Kathetenabschnitte p und q sowie über die Höhe im rechtwinkligen Dreieck h. Es gilt p * q = h².
2. Das Konstruktionsprinzip beruht darauf, dass Sie die gesuchte Wurzel in ein Produkt zweier Zahlen zerlegen. Wollen Sie beispielsweise √21 konstruieren, so gilt 21 = 3 * 7, wobei 3 und 7 die beiden Hypotenusenabschnitte des rechtwinkligen Dreiecks sind und √21 die Höhe in diesem Dreieck.
3. Die Abbildung 2 zeigt, wie Sie bei dieser Konstruktion vorgehen: Zunächst zeichnen Sie wieder die Hypotenuse, die in diesem Fall c = p + q = 10 cm lang ist. Markieren Sie auf dieser Hypotenuse die Länge q (oder p), denn dort befindet sich die Höhe des gesuchten Dreiecks.
4. Errichten Sie die Höhe als Senkrechte auf diesem Teilpunkt zwischen q und p, zunächst in beliebiger Länge.
5. Zeichnen Sie - wie oben beschrieben - den Thaleskreis über der Hypotenuse c.
6. Dieser Kreis schneidet die Senkrechte in einem Punkt, der Dreiecksspitze C. Die abgeteilte Strecke entspricht der Höhe in diesem Dreieck und hat die Länge √21.

Übrigens: Statt des Höhensatzes können Sie auch (einen der beiden) Kathetensätze für diese allgemeine Konstruktion verwenden.