Verschiedene Tangenten konstruieren - so geht's

So zeichnen Sie eine Tangente durch einen Punkt

Sie haben einen Kreis und einen beliebigen Punkt P außerhalb des Kreises. Um die Tangenten zu konstruieren, die durch den Punkt P gehen, sollten Sie Folgendes wissen: Die Strecke MB vom Mittelpunkt des Kreises zum Berührungspunkt der Tangente mit dem Kreis steht senkrecht, also im rechten Winkel, zur Tangente. Zum Konstruieren der Tangente folgen Sie diesen Schritten:

1. Verbinden Sie die Punkte M (Kreismittelpunkt) und P (Punkt außerhalb des Kreises). Nun stellen Sie den Zirkel so ein, dass er etwas mehr misst als die Hälfte dieser Strecke. Stechen Sie jeweils in M und in P und zeichnen Sie je einen Halbkreis über die Strecke. Verbinden Sie die beiden Schnittpunkte Ihrer Halbkreise. Sie haben nun die Mitte der Strecke MP. Diesen Punkt nennen Sie zum Beispiel Q.
2. Zeichnen Sie einen Kreis mit Radius QM und dem Mittelpunkt Q. Die Schnittpunkte B1 und B2 dieses Kreises mit Ihrem eigentlichen Kreis sind die Berührungspunkte der Tangenten. Nun müssen Sie nur noch die beiden Schnittpunkte mit P verbinden.

Wieso ist das so? Ganz einfach: Der Kreis um Q ist ein Thaleskreis. Jeder Peripheriewinkel auf diesem Kreis hat 90 Grad. In dem Punkt, in dem sich die beiden Kreis schneiden, sind zwei Bedingungen erfüllt: Der Winkel MBT hat 90 Grad (siehe oben) und der Punkt liegt auf dem Kreis. Folglich muss hier die Tangente den Kreis berühren.

Wie Sie die äußeren Tangenten konstruieren

Es ist auch möglich, die beiden Tangenten zu konstruieren, die zwei beliebigen Kreisen anliegen. Man nennt diese äußere Tangenten. Der kleinere Kreis hat den Radius r1 und den Mittelpunkt M1, der größere den Radius r2 und den Mittelpunkt M2.

Einen Kreis dritteln - so geht's

Bereits in der Antike befasste man sich mit dem Problem, einen Kreis zu dritteln. Damals steckte …

1. Zeichnen Sie einen Hilfskreis um M2. Dieser Hilfskreis hat den Radius r2-r1.
2. Nun konstruieren Sie Hilfstangenten von M1 aus an den Hilfskreis. Dies funktioniert genauso, wie man von einem beliebigen Punkt aus eine Tangente an einen Kreis zeichnet (siehe oben). Die Berührungspunkte der Hilfstangenten mit dem Hilfskreis heißen A und B.
3. Verbinden Sie M2 mit A und B und verlängern diese Linien, bis sie den größeren Kreis schneiden. Diese Schnittpunkte sind die Berührungspunkte der Tangenten am größeren Kreis und heißen P und Q.
4. Nun verschieben Sie die beiden Hilfstangenten parallel, sodass sie durch die Punkte P und Q verlaufen. Dies sind die äußeren Tangenten ihrer beider Kreise.

So geht's bei den inneren Tangenten

Zwei Kreise haben auch innere Tangenten, die zwischen den Kreisen kreuzen. Und wie werden diese konstruiert?

1. Es beginnt wieder mit einem Hilfskreis. Dieser wird mit dem Radius r1+r2 um den Mittelpunkt M2 des größeren Kreises gezeichnet.
2. Nun konstruieren Sie wieder Hilfstangenten, und zwar vom Mittelpunkt M1 des kleineren Kreises aus an den Hilfskreis. Verbinden Sie die Berührungspunkte A und B der Hilfstangenten mit dem Hilfskreis mit M2. Wo die Strecke M2A beziehungsweise M2B den größeren Kreis schneidet, sind die Berührungspunkte P und Q der inneren Tangenten.
3. Die Hilfstangenten werden nun wieder parallel verschoben, sodass sie durch die Punkte P und Q verlaufen. Dies sind die inneren Tangenten.