Wurzel aus x berechnen - so geht's

Wurzel aus x - das müssen Sie wissen

Der Taschenrechner liefert das Ergebnis, wieso also Wurzel aus x noch "per Hand" ausrechnen? Als Antwort stellen Sie sich einfach eine Robinson-Situation vor, die schon eintreten kann, wenn der Taschenrechner-Akku zu Ende ist oder kaputt. Ein gutes und einfaches Verfahren sollte man also für diesen Fall kennen (und können).

• Zum Berechnen der Wurzel aus einer x-beliebigen Zahl gibt es leider keine Formel, in die man die Zahl einfach einsetzt und dann die Wurzel ausrechnet.
• Auch Taschenrechner benutzen sogenannte Iterationsverfahren, mit denen sie Näherungswerte für Wurzeln berechnen. Bei derartigen Verfahren wird ausgehend von einem (möglichst guten) Schätzwert nach einer bestimmten Rechenvorschrift ein besserer Schätzwert berechnet.
• Dieser neue Wert ist dann wieder der Startwert im Verfahren.
• Der Vorgang wird so lange fortgeführt, bis der Schätzwert einer vorgegebenen Genauigkeit (beispielsweise 2 Stellen hinter dem Komma, beim Taschenrechner natürlich mehr) genügt. 


Resultat der Wurzel - so ziehen Sie die Wurzel im Kopf

Wie genau wollen Sie denn das Resultat einer Wurzel haben? Fernab aller Taschenrechner lassen sich …

• Da das Berechnen einer Wurzel ein uraltes mathematisches Problem ist, gibt es natürlich zahllose Iterationsverfahren. 

Wurzelziehen per Hand - ein durchgerechnetes Beispiel

Das hier vorgestellte Verfahren ist tatsächlich recht einfach. Sie benötigen nicht viel mehr als die Kenntnis der Quadratzahlen sowie das schriftliche Teilen. Und je nach Ausdauer können Sie das Ergebnis beliebig genau annähern.

Als Beispiel soll x = 32 sein, Sie wollen also √ 32 berechnen. Dabei genüge eine Genauigkeit von 2 Stellen hinter dem Komma. Wenn Sie das Verfahren fortlaufend weiter anwenden, erhalten Sie natürliche weitere Kommastellen.

1. Die Zahl 32 liegt zwischen den beiden Quadratzahlen 25 und 36. Also muss √ 32 zwischen 5 und 6 liegen.
2. Ein möglicher erster Schätzwert könnte 5,5 sein.
3. Nun teilen Sie 32 : 5,5 = 5,82 (gerundet auf 2 Stellen hinter dem Komma). 
4. Nun berechnen Sie einen neuen, besseren Schätzwert, indem Sie den Mittelwert aus dem ersten Schätzwert 5,5 und dem Rechenergebnis 5,82 bilden. Sie erhalten (5,5 + 5,82) : 2 = 5,66
5. Nun teilen Sie 32 wieder durch diesen neuen Schätzwert: 32 : 5,66 = 5,65. Das Ergebnis zeigt, dass 5,65 schon ein sehr guter Näherungswert für √ 32 ist. Genauer gesagt, liegt √ 32 zwischen 5,65 und 5,66. Sie haben also schon Ihre beiden gewünschten Stellen hinter dem Komma erreicht. 
6. Eine weitere Nachkommastelle erhalten Sie, wenn Sie wieder zwischen den beiden Werten 5,65 und 5,66 mitteln und mit dem neuen Wert 5,655 weiterarbeiten.

Ach ja: Das Taschenrechnerergebnis ist (gerundet auf 3 Stellen) übrigens 5,657. Dies soll noch einmal die Stärke des vorgestellten Verfahrens belegen, mit dem man doch recht schnell brauchbare Ergebnisse bekommt.