Wie berechne ich Extremstellen? - Eine Anleitung

Um einen Extrempunkt zu berechnen, benötigen Sie Extremstellen

Als Extremstellen werden allgemein zwei Werte, jeweils auf der X- und Y-Achse eines Graphen, bezeichnet. Wie Sie diese beiden Werte in der Kurvendiskussion berechnen können, erfahren SIe in dieser Anleitung. Eine Begriffsklärung, was eine Extremstelle, ein Extrempunkt und ein Extremwert sind, ist notwendig, bevor Sie mit dem eigentlichen Berechnen beginnen können.

• Im umgangssprachlichen Gebrauch werden Extremstellen als jeweils ein Wert auf der X- und auf der Y-Achse bezeichnet. Man muss hier jedoch ein wenig genauer zu Werke gehen und die Begriffe deutlich differenzieren. So stellt der besagte X-Wert tatsächlich die Extremstelle dar. Der Y-Wert hingegen wird als Extremwert bezeichnet.
• In der Kurvendiskussion werden Extrempunkte berechnet. Hierbei handelt es sich entweder um den höchsten (Maximum) oder den niedrigsten Wert (Minimum) in einer bestimmten Umgebung in einem Graphen. Ein Extrempunkt besteht aus einem Extremwert und einer Extremstelle.
• Wenn das Maximum in seinem Intervall der höchste Punkt ist, und nur dort, dann wird es als relatives Maximum bezeichnet. Es kann auch der Begriff lokales Maximum verwendet werden. Ein Minimum ist dann das lokale Minimum, wenn es in seinem Intervall der niedrigste Punkt ist.
• Für den Fall, dass ein Maximum oder Minimum der höchste beziehungsweise niedrigste Punkt in der ganzen Funktion ist, so werden diese als globales Maxi- oder Minimum bezeichnet. 


Tiefpunkt berechnen - so wird's gemacht

Berechnen Sie den Tiefpunkt! So lautet eine häufige Aufgabe aus der Analysis. Kennt man die …

So berechnen Sie Extremstellen eines Funktionsgraphen

1. Um einen Extrempunkt zu berechnen, sollten Sie sich vorher Gedanken dazu machen, ab wann es sich bei einem Punkt um einen Extrempunkt handelt. Als Faustregel kann man sagen, dass der Punkt, ab dem ein Graph nicht mehr ansteigt, das Maximum ist. Von diesem Punkt an fällt der Graph nur noch und der Punkt, an dem er am tiefsten ist und wieder ansteigt, ist laut Faustregel dann das Minimum.
2. Nun muss diese Überlegung auf die Mathematik angewendet werden. Die Ableitung der Funktion ist so lange positiv, wie die Funktion monoton steigend ist. Umgekehrt gilt das Gleiche für eine monoton fallende Funktion. Es ist also notwendig, den Punkt zu finden, an dem die Ableitung vom Positiven ins Negative wechselt. Hierbei handelt es sich um die Nullstelle der Ableitung. Diese stellt die notwendige Bedingung für das Berechnen der Extremstellen dar. Allerdings kann erst später entschieden werden, ob es sich tatsächlich um ein Maximum oder Minimum handelt
3. Zunächst müssen Sie die Funktion ableiten und gleich Null setzen. Dann erhalten Sie die notwendige Bedingung. Nehmen Sie als Beispiel die folgende Funktion: f(x)= 1/9x³ - 1/3x² - 8/3x + 26/9. Diese Funktion wird nun abgeleitet zu: f'(x)= 1/3x²-2/3x-8/3.
4. Setzen Sie diese Ableitung gleich Null, um die notwendige Bedingung zu erhalten, im Beispiel also 1/3x²-2/3x-8/3=0. Nehmen Sie die Ableitung mal drei, um x²-2x-8=0 zu erhalten.
5. Setzen Sie die p/q Formel ein und verwenden Sie -2 als p und -8 als q. Beispiel:  x1,2= -  -2/2 ± √(-2/2)²-(-8).
6. Lösen Sie diese nach x1,2 in den folgenden Rechenschritten auf. Beispiel: x1,2=  1 ±√9;  Sie erhalten für x1 = -2 und für x2 = 4.
7. Setzen Sie diese beiden x-Werte in die ursprüngliche Funktion f(x) ein. Keinesfalls dürfen Sie die Werte in die Ableitung einsetzen, denn nur die Ausgangsfunktion liefert Ihnen y-Werte! Berechnen Sie dann die Extremstellen, indem Sie die Funktionen mit den beiden x-Werten ausrechnen und Sie müssten für dieses Beispiel die beiden Extremstellen E₁ (-2 | 6) und E₂ (-4|6) erhalten.

Das Berechnen von Extremstellen erfordert einiges an Übung und ein gewisses Maß an mathematischem Vorwissen. Mit Übung und viel Geduld können Sie es erlernen und in Mathematik anwenden.