Kongruenzsatz für konvexe Vierecke formulieren - so gehen Sie vor

Überlegungen zu konvexen Vierecken

Bevor Sie einen Kongruenzsatz formulieren, sollten Sie sich zunächst über Verschiedenes im Klaren sein:

• Konvexe Vierecke sind alle Vierecke, bei denen sich die Diagonalen innerhalb des Vierecks schneiden.
• Wenn Sie einen Kongruenzsatz formulieren, muss es möglich sein, mithilfe dieses Satzes das Viereck zu konstruieren. Stellen Sie sich vor, welche Werte Sie einem Partner am Telefon nennen müssen, damit dieser genau das gleiche konvexe Viereck zeichnen kann, das Sie gezeichnet haben.

Die Vorstellung, dass dieser am Telefon ist, hilft, zu verstehen, dass alles verbal erklärt werden muss. Sie können nichts zeigen. Also satt „diese Linie da“ müssen Sie schon konkrete Bezeichnungen verwenden.

Vorbereitung um den Kongruenzsatz zu finden

1. Zeichen Sie ein beliebiges konvexes Viereck mit seinen Diagonalen.


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2. Beschriften Sie es, so wie es bei  Vierecken üblich ist. Beginnen Sie mit dem linken unteren Eckpunkt, den Sie A nennen. Fahren im Alphabet fort, indem Sie gegen den Uhrzeigersinn die übrigen Ecken benennen.
3. Die Strecke, die von A nach B führt, ist a, die von B nach C ist b und so weiter. Der Winkel bei A ist Alpha, der bei B Beta etc. Die Strecke AC ist d₁ und die Strecke BD ist d₂.
4. Wenn Sie nun einen Kongruenzsatz für das konvexe Viereck formulieren wollen, sollten Sie alle Stecken und Winkel ausmessen, dann wird es leichter, zu überprüfen, ob Sie einen Kongruenzsatz gefunden haben.

Herleitung eines Kongruenzsatzses von konvexen Vierecken

1. Beginnen Sie mit SSSS entsprechend dem Kongruenzsatz SSS bei Dreiecken. Sie werden schnell feststellen, dass Sie mit diesen Größen kein bestimmtes konvexes Viereck zeichnen können. Wenn Sie keinen Winkel kennen, werden Sie das Hilfsdreieck ABC oder BCD nicht zeichnen können. Überlegen Sie, ein Quadrat kann dieselbe Seitenlänge wie eine Raute haben, also nur mit Seiten können Sie keinen Kongruenzsatz für Vierecke aufstellen.
2. Versuchen Sie es mal mit 3 Seiten und 2 Winkeln, SWSWS, also zum Beispiel a, Beta, b, Gamma und c. Sie erkennen schnell, dass Sie aus a, Beta und b, das Dreieck ABC konstruieren können (Kongruenzsatz SWS). Nun können Sie an die Strecke b im Punkt C den Winkel Gamma einzeichnen und am freien Schenkel von Gamma die Länge c abtragen. Sie bekommenden Punkt D. Ihr Partner am Telefon kann also das Viereck zeichnen. 
3. Es gibt also einen Zusammenhang zwischen den Kongruenzsätzen von Dreiecken und Vierecken. Überlegen Sie, wie das Hilfsdreieck ABC noch konstruiert werden kann. Sie könnten es auch durch d₁, a, b (SSS) oder WSW bestimmen. In beiden Fällen müssten Sie Strecken oder Winkel kennen, die nichts mit den 4 Seiten und 4 Winkeln von Vierecken zu tun haben. Das Hilfsdreieck ist also in dem Zusammenhang nur nach SWS zu konstruieren.
4. Überlegen Sie nun, welche anderen Möglichkeiten es gibt, Vierecke aus dem Dreieck ABC zu konstruieren. Sie könnten statt Gamma auch den Winkel Alpha kennen und die Strecke d. Sie hätten dann d, Alpha, b, Beta, c also wieder SWSWS. Allgemein lautet der Kongruenzsatz dann: Drei Seiten und 2 dazwischen liegende Winkel.
5. Sie können natürlich auch - basierend auf dem Hilfsdreieck ABC - den Winkel Gamma kennen und die Strecke d. In dem Fall müssen Sie an der Strecke b den Winkel Gamma antragen und einen Kreis um A mit dem Radius d schlagen. Sie erhalten einen Schnittpunkt bei D. Also ist auch SSWSW ein Kongruenzsatz für konvexe Vierecke.

Wenn Sie die Überlegungen mit dem Hilfsdreieck BCD machen oder davon ausgehen, dass Sie Alpha, a, Beta, b und c haben, läuft auch das wieder auf SSWSW hinaus, was Sie auch als 3 Seiten und einer der Seiten anliegende 2 Winkel bezeichnen können.