Deckungsgleiche Dreiecke erkennen - so geht's

Deckungsgleiche Dreiecke - das müssen Sie wissen

Bei diesem Thema muss altes Schulwissen aufgefrischt werden. Denn deckungsgleiche Dreiecke - das sind kongruente Dreiecke.

• Deckungsgleich bedeutet, dass man zwei oder mehrere Dreiecke übereinanderlegen kann und diese dann zur Deckung gebracht werden, also in allen Seiten und Winkeln übereinstimmen.
• Solche Dreiecke können Sie prinzipiell nicht weiter unterscheiden, sie sind eineiigen Zwillingen nicht unähnlich.
• Der Fachausdruck für deckungsgleich ist übrigens kongruent. Kongruente Dreiecke sind also deckungsgleich.

Kongruente Dreiecke - so erkennen Sie sie

• Wenn Sie entscheiden sollen, ob zwei - zum Beispiel auf dem Papier oder in einem Koordinatensystem vorgegebene Dreiecke - deckungsgleich bzw. kongruent sind, ist es natürlich am einfachsten, eines der beiden Dreiecke auszuschneiden und über das andere zu legen. Passt es - im Rahmen Ihrer Schneidegenauigkeit - übereinander ohne überstehende Fläche? Dann sind die beiden Dreiecke deckungsgleich.


Dreieck halbieren - so wird's gemacht

Ein beliebiges Dreieck zu halbieren, da steckt doch bestimmt ein Trick dahinter. In diesem Fall …

• Was aber, wenn Sie das Papier nicht zerschneiden dürfen (oder wollen)? Auch für dieses Problem gibt es Lösungen, nämlich geometrische Abbildungen, die eine Figur in eine andere überführen.
• Zu diesen Abbildungen gehören Verschiebungen, Drehungen und das Umklappen. Wenn Sie es schaffen, durch eine solche Abbildung (oder mehrere hintereinander), das eine Dreieck auf das andere abzubilden, sind die beiden Dreiecke deckungsgleich bzw. kongruent. Meist gibt das Augenmaß hierfür schon einen guten Hinweis. 

Kongruenzsätze - so werden Sie angewendet

Manchmal haben Sie jedoch, vielleicht in einer komplexeren geometrischen Figur oder bei einem Beweis, bereits konkrete Angaben über zwei Dreiecke, die deckungsgleich sein sollen. Vielleicht kennen Sie Seitenlängen oder auch bestimmte Winkel. Wichtig ist, dass Sie stets drei Bestimmungsstücke benötigen. In diesem Fall helfen die vier Kongruenzsätze, die für deckungsgleiche Dreiecke gelten:

• Der erste ist einfach und leicht verständlich: Wenn Sie zwei Dreiecke haben, die in allen drei Seiten übereinstimmen, dann sind diese beiden Dreiecke deckungsgleich. Abgekürzt heißt dieser Kongruenzsatz sss (das "s" steht für Seite).
• Auch der zweite Kongruenzsatz erschließt sich anschaulich: Wenn Ihre beiden Dreiecke in zwei Seiten und dem dazwischenliegenden Winkel übereinstimmen, sind sie deckungsgleich. Tatsächlich lässt diese Konstruktion keine Freiheit mehr für mehrere Dreiecke. Probieren Sie es aus. Abgekürzt lautet der Satz sws (wobei "w" für Winkel steht).
• Beim dritten Satz genügt eine Seite, jedoch zwei Winkel, die dieser Seite anliegen. Auch hier lässt sich nur ein Dreieck konstruieren. Kurz formuliert heißt dieser Satz wsw.
• Der vierte Kongruenzsatz ist leider etwas schwieriger zu verstehen, denn er hat sozusagen eine Nebenbedingung: Die von Ihnen zu untersuchenden Dreiecke sind dann deckungsgleich, wenn Sie in zwei Seiten und einem Winkel übereinstimmen. Allerdings muss der Winkel diesmal der größeren der beiden Seiten gegenüberliegen. Schon beim Zeichnen eines Dreiecks fällt auf, dass sich tatsächlich zwei unterschiedliche Dreiecke ergeben, wenn der Winkel der kleineren Seiten gegenüberliegt. Als Kurzformel sollten Sie sich für diesen Satz Ssw merken. Das große "S" soll die Nebenbedingung mit der größeren Seite andeuten.