Die optimale Dose - in Mathematik diese Extremwertaufgabe lösen

Die optimale Dose - ein Extremwertproblem

Hersteller wollen möglichst wenig Material für Dosen verbrauchen und Bierdosen sollen handlich sein. Wie also müssen die Maße einer zylinderförmigen Dose, die 0,5 l fassen soll, gewählt werden, damit man so wenig Material wie möglich dafür braucht? Und halten sich die Hersteller an diese optimalen Maße überhaupt? Diese Aufgabe klingt zunächst unsinnig, denn schon ein Blick ins Dosenregal zeigt, dass die Hersteller im Großen und Ganzen die Dosen einheitlich gestalten, also gleiche Höhe und gleichen Durchmesser wählen. Aber liegt dies vielleicht doch nur an den Standard-Befüllmaschinen? Oder weil die Dosen in der gewählten Form einfach handlich sind?

1. Diese Fragen lassen sich in der Mathematik überprüfen. Kurz gefasst lautet die Aufgabe: Welchen Durchmesser (oder Radius) und welche Höhe muss man für den Dosenzylinder wählen, damit die Dose ein Volumen von 0,5 l fasst und die Oberfläche (das ist der Materialverbrauch) möglichst klein wird.
2. Dabei handelt es sich um ein Extremwertproblem mit Hauptbedingung (die Oberfläche soll minimal werden) mit einer Nebenbedingung (das Volumen beträgt 0,5 = 500 cm³).
3. Bei derartigen Problemen müssen Sie zunächst sowohl Haupt- als auch Nebenbedingung als Gleichung aufstellen. In diesem Fall sind Radius r des Zylinderkreises und Höhe h des Zylinders die beiden Unbekannten (die Sie berechnen wollen).
4. Die Formeln für das Volumen V und die Oberfläche F eines Zylinders können Sie in der Formelsammlung nachschauen. Beachten Sie, dass die Oberfläche eines Zylinders aus den beiden Kreisen und einem Rechteck (dem Zylindermantel) besteht.


Zylinder - Höhe berechnen

Sie kennen von einem Zylinder zwar einige Größen wie zum Beispiel Durchmesser oder Volumen und …

5. Es gilt V = ¶ r² _* h = 500 cm³ als Nebenbedingung und F = 2 ¶ r² + 2 ¶ r _* h als Hauptbedingung, die minimal werden soll.
6. Die Hauptbedingung enthält zunächst noch die beiden Unbekannten r und h. Aus der Nebenbedingung können Sie nun eine der beiden Unbekannten (h bietet sich an, da einfacher zu rechnen) separieren und in die Hauptbedingung einsetzen. Das Verfahren ähnelt dem Einsetzen bei zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Nur haben Sie es hier mit Funktionen zu tun.
7. Sie erhalten h = 500/¶ r² (die cm³ seien für die weitere Rechnung weggelassen; das Ergebnis errechnet sich dann in der Einheit "cm") und setzen dies in die Oberfläche F ein.
8. F (r) = 2 ¶ r² + 2 ¶ r _* (500/¶ r²) = 2 ¶ r² + 1000/r, das heißt, die Oberfläche Ihrer Dose hängt nun nur noch vom Radius ab. 
9. Gemäß der Aufgabe soll die Oberfläche minimal werden, Sie suchen also einen Extremwert dieser Funktion.
10. Dafür leiten Sie F(r) nach der Variablen r ab und setzen die Ableitung Null.
11. Sie berechnen F'(r) = 4 ¶ r - 1000/r² (die Ableitung von 1/r können Sie in der Formelsammlung nachsehen, falls Sie diese nicht wissen).
12. Für ein Extremum gilt: 4 ¶ r - 1000/r² = 0.
13. Hieraus berechnen Sie r³ = 250/¶ und r = 4,3 cm (dritte Wurzel auf TR). Ihre Minimaldose hat also einen Durchmesser von knapp 9 cm.
14. Die Höhe h der Dose berechnen Sie nun aus der Nebenbedingung (vgl. Punkt 8.) zu h = 8,6 cm. Durchmesser und Höhe stimmen also überein.

Mathematik und Wirklichkeit - das Ergebnis kritisch hinterfragen

Aber sieht eine Bierdose wirklich so aus, etwa so hoch wie breit? Der Alltag widerspricht dem Ergebnis der Mathematik ganz klar, die Dosen sind im Verhältnis höher, also schmaler und damit natürlich auch handlicher. Ob hier der Kundenwunsch im Vordergrund steht, bleibt ungewiss. Und noch etwas sollte man berücksichtigen: Bierdosen sind nicht bis oben befüllt, also größer als 500 ml Inhalt. Zudem ist natürlich die ideale Zylinderform gegeben.

• Allerdings wurde beim Materialverbrauch etwas nicht berücksichtigt: Es gibt Abfall! Beim Schneiden der Kreise entsteht er. Ob er neu eingeschmolzen oder entsorgt wird, ist nicht bekannt. Jedenfalls ist er für die Firma ein Verlust. Vielleicht berechnen Sie die Extremwertaufgabe der optimalen Dose noch einmal unter Berücksichtigung dieses Abfalls.
• Dann benötigt man nämlich für die Oberfläche nicht zwei Kreise, sondern zwei Quadrate zusätzlich zum rechteckigen Zylindermantel. Das Ergebnis lautet für diesen Fall r = 4 cm und h = 10 cm, die Dose wird also schmaler und höher. Das erstaunt dann schon!