Winkelberechnung am Dreieck - Schritt für Schritt erklärt

Winkelberechnung im rechtwinkligen Dreieck

• Dabei handelt es sich um ein Dreieck, das einen rechten Winkel (90°) aufweist. Dieser Winkel liegt der größten Dreieckseite gegenüber. Die beiden anderen Winkel müssen (da die Winkelsumme 180 ° beträgt) zusammen ebenfalls 90° haben. Dies erleichtert die Rechnung.
• Voraussetzung ist, dass Sie in dem Dreieck mindestens 2 Seitenlängen kennen, beispielsweise a und b oder a und c.
• Entwerfen Sie zunächst eine Skizze des rechtwinkligen Dreiecks, die Maße für die Seitenlängen müssen dabei nicht stimmen. Wichtig ist, dass Sie in diese Skizze (zum Beispiel mit "rot") die beiden gegebenen Seiten einzeichnen, um sich einen Überblick über die Aufgabe zu machen. Dieses Vorgehen ist übrigens bei den meisten geometrischen Aufgaben sinnvoll.
• Zur Winkelberechnung stehen beim rechtwinkligen Dreieck (und nur dort!) die Winkelfunktionen sin, cos und tan zur Verfügung. Wenn Ihnen die Definitionen dieser Winkelfunktionen nicht geläufig sind, sollten Sie diese jetzt in einer wirklich guten (und ausführlichen) Formelsammlung nachschlagen.
• Entsprechend den gegebenen Seiten des Dreiecks wählen Sie nun eine der drei Winkelfunktionen zur Berechnung des Winkels aus. Dabei ist es egal, welchen der beiden noch fehlenden Winkel (im Allgemeinen Alpha oder Beta) Sie nehmen, eine der Winkelfunktionen passt immer.


Sinussatz im nicht-rechtwinkligen Dreieck - die Formel am Beispiel erklärt

Auch im nicht-rechtwinkligen Dreieck kann man mit den Winkelfunktionen sin und cos rechnen: Ein …

• Bilden Sie das entsprechende Seitenverhältnis, dem diese Winkelfunktion sin, cos oder tan entspricht. Auf dem Taschenrechner ergibt sich eine reine Zahl.
• Nun tritt die Schwierigkeit auf, den zu dieser Zahl passenden Winkel zu berechnen. Je nach Taschenrechner sind inverse Winkelfunktionen gefragt (also sin-1 oder INV SIN). Nach Drücken der entsprechenden Tasten erscheint das Winkelmaß als direktes Ergebnis. Es muss kleiner als 90° sein.
• Der andere, noch fehlende Winkel ist die Differenz zu 90°.

Winkelberechnung im allgemeinen Dreieck

• Diese Berechnung ist schwieriger, da die besprochenen Winkelfunktionen hier nicht (!) gelten, also keine direkten Seitenverhältnisse gebildet werden können.
• Auch für diesen Fall sollten Sie eine Skizze anfertigen und die gegebenen Seiten rot markieren. In diesem Fall sind für die Berechnung alle 3 Seiten notwendig.
• Im allgemeinen Dreieck gelten jedoch andere Formeln. Dies sind der Cosinussatz und der Sinussatz.
• Der Cosinussatz (in der Formelsammlung unbedingt nachschlagen!) ist so etwas wie ein verallgemeinerter Pythagoras, bei dem berücksichtigt wird, dass es keinen 90°-Winkel gibt. Dementsprechend kommen in der Formel die drei Dreiecksseiten und einer der fehlenden Winkel (zum Beispiel Alpha) vor.
• Der Winkel kann berechnet werden, indem man die Längenmaße der drei Seiten in die Formel des Cosinussatzes einsetzt und die entstandene Gleichung nach cos (Alpha) auflöst. Der Winkel Alpha ergibt sich hier - genau wie oben - mit dem Taschenrechner als inverse Winkelfunktion. Im allgemeinen Dreieck kann ein Winkel auch größer als 90° sein!
• Jetzt könnten Sie weitere Winkel mit dem Cosinussatz berechnen, es müssen lediglich die jeweils anderen Seiten eingesetzt werden. Einfacher ist es jedoch, für die weiteren Winkel den Sinussatz (nachschauen!) zu benutzen und dabei den bereits berechneten Winkel einzusetzen.
• Den dritten Winkel des Dreiecks erhalten Sie übrigens schnell, wenn Sie bedenken, dass die Winkelsumme im Dreieck 180° beträgt. Aufatmen, Aufgabe erledigt!