Winkel der Steigung am Berg - so berechnen Sie den Steigungsgrad

Die Steigung z. B. von einer Straße wird meist in Prozent angegeben, so sind auch die Verkehrsschilder zu verstehen. Für andere Anwendungsgebiete wollen Sie jedoch lieber den exakten Winkel wissen, z. B. wenn Sie die Steigung ausgleichen wollen beim Bau einer ebenen Plattform am Berg oder Ähnlichem. Beide Werte lassen sich leicht ineinander umwandeln.

Winkel oder Prozentangabe für die Steigung am Berg

• Der Winkel einer Steigung wird gemessen zwischen der Steigungsstrecke, z. B. der Straße, und einer (gedachten) horizontalen Linie.
• Für die Prozentangabe ist allerdings das Verhältnis aus horizontaler Streckenlänge zur vertikalen Streckenlänge (der Höhe also) maßgeblich, also wie viele Meter man sich auf- oder abwärts bewegt für jeden Meter, den man horizontal vorwärts geht.
• Aus diesem Verhältnis ergibt sich ein Wert von 1, also 100 %, wenn man je ein Meter vorwärts und hoch geht. Da Waagerechte und Senkrechte im rechten Winkel zueinander stehen und die gleiche Länge haben, handelt es sich um ein gleichseitiges rechtwinkliges Dreieck, wodurch für den Steigungswinkel nur noch (180°-90°)/2 = 45° übrig bleiben. Eine Steigung von 100 % entspricht also einem Steigungswinkel von 45°. 

So rechnen Sie bei kleinen Steigungen um

• Um die Prozentangabe der Steigung in die Gradangabe des Winkels umzurechnen, brauchen Sie die Werte nur noch mit einem Dreisatz ins Verhältnis zu setzen. Diese einfache Rechnung funktioniert allerdings nur, und auch dann nur näherungsweise, wenn es sich um kleine Steigungen bis etwa 10° handelt. 


Steigung am Berg berechnen - so wird's gemacht

Sie wollen beispielsweise als Radfahrer die Steigung an Ihrem nächsten Berg berechnen? Mit einer …

• Haben Sie z.B. einen Winkel von 5°, so wissen Sie, dass 5° zu 45° genauso viel ist, wie der gesuchte Prozentwert p zu 100 %, also 5:45 = p : 100. Daraus ergibt sich, dass p = (5*100):45 =  11,1 %.
• Umgekehrt können Sie z. B. die Prozentangabe von p =10 % in die Gradzahl x des Steigungswinkels umrechnen: 10 % : 100 % = x : 45°. Daraus ergibt sich x = 45/10 = 4,5°.
  • Haben Sie es mit größeren Steigungen, beispielsweise bei Übungsaufgaben für die Schule zu tun, müssen Sie für die Umrechnung die Tangensfunktion benutzen. So gilt tan (x) = p % * 100. Dabei ist der Steigungswinkel x in Grad anzunehmen. Für einen Steigungswinkel von 60° erhalten Sie (Taschenrechnerfunktion benutzen) eine prozentuale Steigung von p = 173 % (der Dreisatz liefert hier den falschen Wert von p = 133 %!). Mit der Umkehrfunktion TAN^-1 (bzw. arctan oder INV TAN, je nach Taschenrechnermodell) lösen Sie auch die umgekehrte Aufgabenstellung. Für eine prozentuale Steigung von p = 75 % ergibt sich ein Steigungswinkel von x =  arctan (75/100) = 36,87°. Auch hier liefert der Dreisatz das falsche (!) Ergebnis x = 33°.

Tangensfunktion für größere Steigungen

Übrigens: Bei kleinen Steigungen und Steigungswinkeln ist der Unterschied zwischen der Tangensfunktion und der proportionalen Funktion tatsächlich klein, so dass man mit dem Dreisatz schnell und unkompliziert rechnen kann. Bei größeren Winkeln (vergleiche die Beispiele im letzten Teil) ergeben sich jedoch deutliche Unterschiede, die zu Fehlern führen.