Textaufgaben zur Integralrechnung - ein ausführliches Beispiel

Typische Textaufgaben aus der Integralrechnung

• Beim Integral handelt es sich anwendungsbezogen um die Frage nach dem Flächeninhalt, die eine Funktion mit der x-Achse oder einer anderen Begrenzung bildet.
• Bei Textaufgaben wird es also um die Berechnung von Flächen gehen, die - nicht wie im einfachsten Fall in der Geometrie - durch gerade Strecken begrenzt sind, sondern durch Kurven, die sich durch Funktionen (mehr oder weniger gut) ausdrücken lassen.
• Dabei kann es sich beispielsweise um die Berechnung der Fläche eines Radioteleskops handeln, aber auch um die Frage, wie viel Erde oder Kies man für das Auffüllen eines kurvigen Landstücks benötigt. Ein Sonderfall sind Flächen, die zwischen zwei Kurven liegen.
• Auch Ingenieursaufgabe, bei denen es um den Durchfluss oder die Lüftung bei Anwendungen geht, kann die Integralrechnung zum Zuge kommen. Denn nicht immer sind die Querschnitte, die in Betracht kommen, von geraden Strecken begrenzt. Denken Sie beispielsweise an Abflussrohre.
• Eine weitere Anwendung sind Textaufgaben, die sich mit dem Rotationsvolumen von Körpern befassen. Auch hier haben die Querschnitte der entsprechenden Körper Funktionen als Begrenzungslinien. Denken Sie an Weingläser oder Blumenvasen.


Randfunktion berechnen

Auch in der Mathematik geht nicht immer alles glatt: Vor allem Flächen haben nicht immer gerade …

Ausreichend Durchfluss gewährleistet? - Ein Beispiel

In der Wasserwirtschaft, aber auch in der Lüftungstechnik, muss oft die Frage beantwortet werden, ob ein projektierter Kanal vom Querschnitt her ausreichend groß gewählt wurde. Schließlich soll er das Regenwasser auch im Extremfall aufnehmen oder beim Tunnelbau für ausreichend Belüftung sorgen. Übermäßig groß soll er natürlich auch nicht werden - schließlich kostet die Sache ja Materialgeld.

1. Im Beispiel habe das Profil eines Abwasserkanals (in etwa) die Form einer Parabel (Funktion zweiten Grades). Die obere Breite betrage acht Meter, die Höhe fünf Meter. Es soll die Querschnittsfläche berechnet werden, um abzuschätzen, ob es ausreicht - eine Aufgabe für die Integralrechnung.
2. Wählen Sie zunächst ein geeignetes Koordinatensystem für Ihre Parabel, um deren Funktionsgleichung aus den Angaben aufstellen zu können. Günstig ist es, die Parabel wie in der Abbildung achsensymmetrisch zu platzieren. Die gesuchte Querschnittsfläche des Abwasserkanals ist die Fläche, die die Parabel mit der x-Achse bildet.
3. Die gesuchte quadratische Funktion hat für diesen Fall die Form f(x) = ax² + c, wobei die beiden Koeffizienten a und b aus den Daten der Aufgabe ermittelt werden müssen.
4. Leicht sieht man, dass c = -5 (die Tiefe des Kanals) sein muss; a ergibt sich aus der Bedingung, dass der Kanal bei -4 und 4 eine Nullstelle hat zu a = 0,3125 (Bed. f(4) = 0 ergibt Wert a). Die gesuchte quadratische Funktion lautet also f(x) = 0,3125x² - 5.
5. Für die Querschnittsfläche berechnen Sie das Integral zwischen den Grenzen x₁ = -4 und x₂ = +4 über diese Funktion. Alternativ können Sie auch die Grenzen zwischen 0 und 4 wählen und das Ergebnis verdoppeln, da es sich um eine symmetrische Funktion handelt.
6. Sie erhalten ₀ ∫ ⁺⁴ (0,3125x² - 5) dx = [0,104x³ - 5x]₀⁴ = 0,104 * 4³ - 5 * 4 = |-13,344|. Die Querschnittsfläche beträgt somit 13,344 Quadratmeter.

Wie bei vielen Anwendungsaufgaben zeigt sich auch hier, dass man mit "krummen" Zahlen arbeiten muss, die es geeignet zu runden gilt.