Randfunktion berechnen

Randfunktion - einfach erklärt

In vielen Anwendungsaufgaben aus den Naturwissenschaften, aber auch aus den Materialwissenschaften müssen Flächen mit gekrümmtem Rand modelliert oder sogar minimiert werden.

• Derartige Flächen mit "krummem" Rand lassen sich in der Mathematik oft nicht so einfach berechnen, es fehlt schlicht und einfach eine Formel, über den Sie den Flächeninhalt ausrechnen können, so wie dies zum Beispiel für Rechtecke, Dreiecke oder auch ein Kreis möglich ist.
• Allerdings können Sie das Problem manchmal lösen, indem die krumme Berandung der Fläche sich durch eine Funktion, beispielsweise eine Parabel oder eine Winkelfunktion beschreiben lässt. Solche Funktionen werden dann als Randfunktion bezeichnet, sie bilden den Rand der Fläche.
• So lassen sich mithilfe der Integralrechnung leicht Flächen zwischen zwei Funktionen berechnen.

Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen

Die meisten werden Flächen kennen, die ellipsen- oder linsenförmig sind. Solche Flächen entstehen zum Beispiel , wenn zwei (oder mehr) Funktionen Schnittpunkte bilden und dann als Randfunktionen eine Fläche mit gekrümmtem Rand bilden. Diese von den Randfunktionen gebildete Fläche können Sie mithilfe der Integralrechnung leicht berechnen. Die Vorgehensweise ist ganz grob die Folgende:

Integral dx - so lösen Sie die Aufgabe

Da kann selbst gewiefte Matheleute aus dem Konzept bringen: Integralzeichen und dahinter nur dx. …

1. Fertigen Sie eine Skizze an, damit Sie (in etwa) wissen, wie die Fläche aussieht und wo sie liegt.
2. Berechnen Sie dann die Schnittpunkte der Funktionen, damit Sie die Integrationsgrenzen für die Randfunktionen kennen. Die Schnittpunkte erhalten Sie, indem Sie die beiden Funktionsgleichungen gleichsetzen.
3. Nun bilden Sie das Integral vom x-Wert des unteren Schnittpunkts bis zum x-Wert des oberen Schnittpunktes.
4. Die Integralfunktion ist die Differenz der beiden gegebenen Funktionen, und zwar wird die untere Funktion von der oberen Funktion abgezogen. Dies ist die Randfunktion, über die Sie integrieren müssen. (Anmerkung: Wenn Sie die beiden Funktionen falsch herum abziehen, ist es auch nicht schlimm, das Integral wird dann lediglich negativ.)
5. Ermitteln Sie die Stammfunktion dieser Randfunktion, entweder aus der Formelsammlung oder mithilfe der Integralregeln.
6. Setzen Sie in diese Stammfunktion zunächst die obere Grenze ein, dann setzen Sie die untere Grenze ein und subtrahieren beides.
7. Sie erhalten die durch die Randfunktion gegebene Fläche.

Randfunktion - ein durchgerechnetes Beispiel

Als Beispiel sei eine Fläche gewählt, die durch zwei quadratische Funktionen (Parabeln) begrenzt wird. Es sei f(x) = x², die Normalparabel und g(x) = -x² + 4x (Skizze vgl. Foto).

1. Durch Gleichsetzen der beiden Funktionen x² = -x² + 4x halten Sie die beiden x-Werte der Schnittpunkte x₁= 0 und x₂ = 2. Die y-Werte der beiden Schnittpunkte brauchen Sie übrigens für die Flächenberechnung nicht; interessant sind nur die x-Werte als Integrationsgrenzen.
2. Aus der Skizze ersehen Sie, dass g(x) die höhere der beiden Funktionen ist. Sie berechnen also als Randfunktion der gesuchten Fläche g(x) - f(x) = -2x²+ 4x.
3. Diese Funktion müssen Sie in den Grenzen von 0 bis 2 integrieren.
4. Als Stammfunktion ergibt sich: F(x) = -2/3 x³ + 2 x² (Integralformel anwenden).
5. Nun setzen Sie die obere Grenze x₂ = 2 ein und erhalten: F(2) =  8/3.
6. Einsetzen der unteren Grenze x₁ = 0 ergibt F(0) = 0.
7. Die Fläche zwischen den beiden Funktionen f(x) und g(x) beträgt also F(2) - F(0) = 8/3 (cm² oder Flächeneinheiten, je nach Anwendung).