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Symmetrie berechnen - so klappt's

Autor: Julian Kutschera
Symmetrie berechnen - so klappt's2:26
Video von Galina Schlundt2:26

Bei jeder Kurvendiskussion nimmt auch die Symmetrie einen kleinen Teil ein. Hierbei gibt es zwei Arten. Die Punktsymmetrie und die Achsensymmetrie. Doch wie genau lässt sich die Symmetrie berechnen.

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Zur Berechnung der Symmetrie gibt es vorgegebene Formeln. Doch es lässt sich auch schon anhand des Aussehens der Funktion bestimmen, ob eine bestimmte Art der Symmetrie vorliegt oder nicht.

Achsensymmetrie berechnen

  1. Um zu berechnen, ob bei einer gegebenen Funktion f(x) Achsensymmetrie vorliegt, müssen Sie eine Gleichung der folgenden Form bilden: f(x) = f(-x)
  2. Haben Sie beispielsweise die Funktion f(x) = x2 + 2x - 3 gegeben, dann muss ihre Gleichung wie folgt aussehen: x2 + 2x - 3 = (-x)2 + 2*(-x) - 3.
  3. Setzen Sie nun in beide Gleichungen für x eine beliebige Zahl ein. Beispielsweise die Zahl 2. Die Gleichung verändert sich folgendermaßen: 22 + 2*2 - 3 = (-2)2 +2*(-2) - 3.
  4. Wenn Sie diese Gleichung nun berechnen, dann erhalten Sie das Ergebnis 5 = - 3. Die rechte und linke Seite der Gleichung stimmen nicht überein. Somit liegt keine Achsensymmetrie vor.
  5. Hätten Sie auf beiden Seiten der Gleichung das gleiche Ergebnis erhalten, dann läge Achsensymmetrie vor.

Punktsymmetrie berechnen

  1. Wollen Sie überprüfen, ob eine Funktion symmetrisch zu einem Punkt ist, dann müssen Sie die Gleichung f(x) = - f (-x) aufstellen.
  2. Haben Sie die Funktion f(x) = x2 + 2x - 3 gegeben, dann sähe Ihre Gleichung so aus: x2 + 2x - 3 = - [ (-x)2 + 2*(-x) - 3 ].
  3. Setzen Sie nun beispielsweise die Zahl 2 für x ein, dann erhalten Sie eine Gleichung der Form 22 + 2*2 - 3 = - [ (-2)2 + 2*(-2) - 3 ].
  4. Sie erhalten als Ergebnis 5 = 3.
  5. Da die beiden Seiten der Gleichung nicht übereinstimmen, liegt keine Punktsymmetrie vor.

Merksätze zur Symmetrie

Um die Berechnung der Symmetrie zu vereinfachen, gibt es Merksätze, mit denen Sie anhand des Aussehens einer Funktion die Symmetrie bestimmen können.

  • Hat Ihre Funktion nur gerade Exponenten, dann liegt Achsensymmetrie vor
  • Hat Ihre Funktion nur ungerade Exponenten, dann liegt Punktsymmetrie vor
  • Achsensymmetrie schließt Punktsymmetrie aus, beziehungsweise umgekehrt
  • Hat Ihre Funktion gerade und ungerade Exponenten, dann liegt keine Symmetrie vor
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