Nullstellen der Exponentialfunktion berechnen - so geht's

Die Exponentialfunktion hat keine Nullstellen

• Die einfachste Exponentialfunktion hat die Form  f(x) = e^x mit der Eulerschen Zahl e als Basis, bzw. f(x) = a^x mit allgemeiner Basis a (größer Null).
• Dabei handelt es sich um Funktionen, die mit größer werdendem x-Argument stets größere Funktionswerte annehmen - sogenannte Wachstumsfunktionen.
• Eine Nullstelle liegt dann vor, wenn eine Funktion die x-Achse schneidet (oder berührt). An dieser Stelle gilt für den Funktionswert f(x) = y = 0 (Bedingung für Nullstellen). Wenn Sie jedoch den Graphen der Exponentialfunktion ansehen, so liegt dieser stets oberhalb der x-Achse. Die Funktion f(x) = e^x hat also keine Nullstelle.
• Rechnerisch müssten Sie aus der Bedingung e^x = 0 einen passenden x-Wert finden. Bilden Sie hierfür auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus (als Gegenoperation zu "e hoch") und Sie erhalten ln (e^x) = ln 0 und weiter x = ln 0. Bekanntermaßen können Sie den Logarithmus von Null nicht bilden, er ist nicht definiert.

Zusammengesetzte Exponentialfunktionen - ein Beispiel

In diesem Beispiel soll die zusammengesetzte Exponentialfunktion f(x) = (x²-1) * e^x auf Nullstellen untersucht werden:

Logarithmus umkehren - so geht's

Die Umkehrfunktion des Logarithmus ist nicht schwierig zu bestimmen. Sie müssen beim Umkehren der …

1. Die Bedingung für Nullstellen lautet f(x) = 0. Sie setzen also (x²-1) * e^x = 0.
2. Der linke Teil dieser Gleichung ist ein Term, der aus zwei Faktoren besteht, die Sie einzeln auf Nullstellen untersuchen können (Erinnerung: a * b = 0, wenn entweder a = 0 oder b = 0).
3. Sie setzen also x² - 1 = 0 und erhalten die beiden Nullstellen x₁ = 1 und x₂ = -1 als Lösung dieser quadratischen Gleichung.
4. Der zweite Faktor e^x = 0 hat (wie oben bereits erläutert) keine Lösung und liefert somit keine weitere Nullstelle.

Die Funktion f(x) = (x²-1) * e^x hat somit die beiden Nullstellen N₁ (1/0) sowie N₂ (-1/0).