Integral von 1/x^3 - so integrieren Sie die Funktion

1/x^3 vereinfachen - so gehen Sie vor

• Zugegeben, der Ausdruck "1/x^3" ist nicht leicht zu interpretieren, denn dahinter versteckt sich eine (dennoch einfache) gebrochen rationale Funktion.
• Zunächst formen Sie um f(x) = 1/x^3 = 1/x³.
• Nun wenden Sie ein Potenzgesetz an, nämlich 1/aⁿ = a^-n und Sie erhalten: f(x) = x^-3.

Integral für Funktionen mit der negativen Potenz

• Genauso wie man Funktionen der Form f(x) = x^m mit beliebigen Potenzen m (m kann hier nicht nur eine natürliche Zahl, sondern auch negativ, Bruch oder auch eine reelle Zahl sein) nach der bekannten Regel ableiten kann (bei f(x) = x^m gilt f'(x) =m _* x^m-1; dabei kann m jede beliebige reelle Zahl sein), können Sie auch beim Integrieren die Ihnen bekannte Integralregel anwenden.
• Es gilt nämlich ∫ x^m = 1/(m+1) _* x_m+1, wobei m nicht notwendig eine natürliche Zahl sein muss, ausgenommen der Fall m = -1. Die Regel lässt sich durch Ableiten (der Umkehroperation zum Integrieren) leicht zeigen.


2 durch x ableiten - so funktioniert's bei gebrochen-rationalen Funktionen

Wenn Sie die Funktion "2 durch x" ableiten wollen, können Sie dies mit ein bisschen Geschick und …

• Wenden Sie die Regel an, so können Sie beliebige Funktionen mit beliebigen Exponenten (in Ihrem Fall also auch m = -3) integrieren.
• Sie erhalten: ∫ x^-3 = 1/(-3+1) _* x^-3+1 = = - 1/2 x^-2 = -1/2 _* 1/x² = - 1/(2x²), um noch einige andere Schreibweisen zu zeigen, sowie in der etwas umständlicheren Schreibweise -1/2 _* 1/x^2.

Fazit: Gebrochen rationale Funktionen der Art 1/x^m lassen sich recht einfach integrieren, wenn man diese in eine Funktion mit negativer Potenz umwandelt und dann die bekannte Integralregel anwendet. Das Verfahren funktioniert jedoch nicht bei Funktionen der Form 1/(x² - 2x) oder auch 2x/(x+1), da es sich hier nicht um einfach gebrochene Funktionen handelt. Hier sind andere Verfahren nötig wie beispielsweise das Integrieren durch Substitution.