Eulersche Zahl - Herleitung anschaulich erklärt

Was ist die Eulersche Zahl?

Die Zahl e, auch Eulersche Zahl genannt, ist eine irrationale, transzendente reelle Zahl. Sie ist, neben Pi, eine der wichtigsten Konstanten in der Mathematik. Ihren Namen verdankt Sie dem bekannten Mathematiker Leonhard Euler.

• Die ersten zehn Stellen der Eulerschen Zahl lauten: e = 2,7182818284...
• Die Eulersche Zahl taucht auch als Basis der Exponentialfunktion auf. Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion, es gelten daher auch die Beziehungen ln(e) = 1 und e^ln(x)= x.  Interessant ist deren Eigenschaft vor allem hinsichtlich der Differential- und Integralrechnung. So gilt: (e^x)⁽ⁿ⁾ = ... = (e^x)' = e^x. Die Ableitung der e-Funktion ist wieder die e-Funkion. Sie können diese Funktion also beliebig oft differenzieren (oder integrieren) und erhalten danach immer wieder die e-Funktion.
• Die Zahl spielt daher in der Differential- und Integralrechnung eine sehr wichtige Rolle. Ihre Definiton oder Herleitung kann auf unterschiedliche Weise gelingen.

Herleitung von e

• Die klassische Herleitung von e erfolgt über die Grenzwertbildung. So entspricht e gerade dem Limes aus der Folge a_n = (1+1/n)ⁿ, wenn Sie n gegen unendlich laufen lassen.


Logarithmus umkehren - so geht's

Die Umkehrfunktion des Logarithmus ist nicht schwierig zu bestimmen. Sie müssen beim Umkehren der …

• Der Mathematiklaie wird diesen Grenzwert nicht sofort erkennen. Da der Grenzwert von 1/n für n gegen unendlich 0 ist, könnte er argumentieren, dass der Grenzwert dieser Reihe (1+1/n)ⁿ eben 1 ist. Tatsächlich ist der Grenzwert aber e.
• Eine weitere Möglichkeit der Definition von e ist die Definition über eine unendliche Reihe, in der auch die Fakultät vorkommt. So ist für k aus den natürlichen Zahlen mit Null und der Definition 0! = 1, e = Σ_k>=0 (1/k!) = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + ...

Sie sehen, die Eulersche Zahl spielt in der Mathematik eine sehr wichtige Rolle und wird Ihnen bei Ihrem Studium oder in der Schule an einigen Stellen über den Weg laufen.