Dekadischer Logarithmus - so berechnen Sie ihn

Dekadischer Logarithmus - was ist das?

• Egal, ob exponentielles Wachstum oder Zerfall, Zinseszins oder Bakterienpopulation: Wenn Sie eine Gleichung der Form a = 10^b  nach der Hochzahl b auflösen müssen, stoßen Sie auf einen ganz bestimmten Logarithmus, der auch dekadischer Logarithmus genannt wird.
• Zunächst einmal ist jeder Logarithmus, egal, ob zur Basis 2, 10 oder auch der natürliche zur Basis e (der Euler-Zahl), eine Frage nach der Hochzahl. Ein dekadischer Logarithmus ist einer, dessen Basis die Zahl "10" ist. Für diesen speziellen Logarithmus benutzen Sie die Schreibweise log₁₀ x oder auch (kürzer) lg x. Der Ausdruck stammt übrigens aus dem Griechischen; dort bedeutet "deka" "zehn".

So berechnen Sie ihn

Ein Beispiel soll Sie durch die unterschiedlichen Möglichkeiten führen: Wenn Sie lg 5 berechnen wollen, dann suchen Sie eine Hochzahl x, sodass 10^x = 5 wird. Weil 10⁰ = 1 und 10¹ = 10, muss die gesuchte Hochzahl x zwischen 0 und 1 liegen. Aber wie kommen Sie zu dem genauen Wert?

• Der einfachste Weg, Logarithmen zu berechnen, führt zu einem (wissenschaftlichen) Taschenrechner. Geben Sie die Zahl ein (im Beispiel 5), deren Zehnerlogarithmus Sie bestimmen wollen, und drücken Sie (je nach Modell) die Taste "lg" oder "log". Beachten Sie, dass Ihr Taschenrechner auch über den natürlichen Logarithmus "ln" verfügt, der nicht verwechselt werden darf. (Zum Vergleich: lg 5 = 0,69897)
• Eine weitere, vor allem früher übliche Art, Logarithmen zu bestimmen, ist ein Rechenschieber. Dieser kleine mathematische "Zauberstab" verfügt in vielen Fällen über eine lg-Skala. Stellen Sie auf der normalen x-Skala den Wert (im Beispiel 5) ein und lesen Sie auf der lg-Skala den dazugehörigen Zehnerlogarithmus ab. Im Allgemeinen ist die Skalengenauigkeit ausreichend; man erhält beispielsweise lg 5 = 0,7. Und: Der Rechenstab arbeitet ohne Strom, ist also immer zur Hand.


Logarithmus umkehren - so geht's

Die Umkehrfunktion des Logarithmus ist nicht schwierig zu bestimmen. Sie müssen beim Umkehren der …

• Schüler früherer Generationen konnten auch mit sog. Tafelwerken bzw. Logarithmentafeln Logarithmen mit großer Genauigkeit bestimmen. Schon im Jahr 1617 veröffentlichte der englische Mathematiker Henry Briggs ein Buch, das achtstellige (!) Werte für die Logarithmen der natürlichen Zahlen von 1 bis 1000 zur Basis 10 enthielt. Logarithmen für größere (oder kleinere) Zahlen kann man mithilfe der Logarithmengesetze ebenfalls mit einem solchen Tafelwerk bestimmen. So gilt beispielsweise lg 0,5 = lg 5/10 = lg 5 - lg 10 = 0,7 - 1 = - 0,3
• Aber wie konnten Briggs und seine Nachfolger diese Werte überhaupt berechnen (und wie arbeiten moderne Taschenrechner)? Sie verfügen über Formeln (beispielsweise sog. Taylorreihen), die sie für eine (näherungsweise) Berechnung benutzen. Zudem benötigte Briggs "nur" die Logarithmen für die Primzahlen, denn jede natürliche Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben. Folgt man wieder den Logarithmengesetzen, so ergibt sich der Logarithmus einer natürlichen Zahl additiv aus den Logarithmen seiner Primzahlzerlegung. Auch ein Interpolieren (also das Berechnen von Zwischenergebnissen) von Werten der Exponentialfunktion war üblich, um an Logarithmenwerte zu kommen.