Cournotscher Punkt - was ist das?
Der Cournotsche Punkt ist ein Begriff aus der Volkswirtschaftslehre, speziell aus der Mikroökonomie. Er wurde nach dem französischen Mathematiker und Wirtschaftswissenschaftler Antoine-Augustin Cournot benannt.
- Er beschreibt die gewinnmaximale Kombination aus der erwarteten nachgefragten Menge und einem festgesetzten Preis im Falle eines Monopols, denn ein Monopolist muss nicht den auf dem Markt gebildeten Preis akzeptieren, sondern kann Preis und Menge selber variieren.
- Ein Cournotscher Punkt lässt sich nur berechnen, wenn die Preis-Absatz-Funktion und die Gesamtkostenfunktion bekannt sind.
- Er liegt auf der Preis-Absatz-Funktion, welche die Nachfrage auf dem Markt in Abhängigkeit von der Menge beschreibt. Seine Koordinaten sind die gewinnmaximale Menge und der zugehörige Preis.
So berechnen Sie ihn
- Ermitteln Sie die Erlösfunktion, indem Sie die Preis-Absatz-Funktion mit der Menge x multiplizieren.
- Subtrahieren Sie die Gesamtkostenfunktion von der Erlösfunktion, um die Gewinnfunktion zu erhalten.
- Da Sie den maximalen Gewinn ermitteln möchten, bilden Sie die erste Ableitung der Gewinnfunktion nach x und setzen diese gleich Null. Berechnen Sie aus dieser Gleichung x. Somit haben Sie bereits die gewinnmaximale Menge und damit die erste Koordinate des Cournotschen Punktes ermittelt. Durch Umstellen der Gleichung erkennen Sie auch, dass bei der gewinnmaximalen Menge die Grenzkosten gleich dem Grenzerlös sind. Diese Grenzkosten ergeben sich jeweils aus der ersten Ableitung der Erlös- beziehungsweise Gesamtkostenfunktion nach x. Die Grenzkosten beschreiben die Kostenzunahme bei Herstellung einer weiteren Produkteinheit. Der Grenzerlös ist der Erlöszuwachs beim Verkauf einer zusätzlichen Produkteinheit.
- Bilden Sie zu Kontrollzwecken die zweite Ableitung der Gewinnfunktion nach x. Nur wenn diese negativ ist, ist auch die zweite Ableitung der Grenzerlösfunktion kleiner als die der Grenzkostenfunktion. Da die zweite Ableitung die Steigung dieser Funktionen angibt, können sie sich nur unter dieser Voraussetzung schneiden und es existiert eine gewinnmaximale Menge.
- Setzen Sie die ermittelte Menge x in die Preis-Absatz-Funktion ein und Sie erhalten den gewinnmaximalen Preis als zweite Koordinate des Cournotschen Punktes.
- Wenn Sie noch den maximal erzielbaren Gewinn berechnen möchten, setzen Sie x in die Gewinnfunktion ein.
Berechnen Sie den Tiefpunkt! So lautet eine häufige Aufgabe aus der Analysis. Kennt man die …
Erklärung am Beispiel
- Gegeben ist die Preis-Absatz-Funktion p(x)=5.000 - 10x. Die 5.000 Geldeinheiten sind in diesem Fall der Prohibitivpreis, das heißt, bei diesem Preis ist kein Absatz mehr möglich. 10 ist hier die Sättigungsmenge, das bedeutet, das auch bei kostenloser Abgabe nicht mehr als 10 Stück nachgefragt werden.
- Auch die Gesamtkostenfunktion ist gegeben, und zwar mit K(x)=30.000+1.000x. Dabei sind 30.000 die fixen und 1.000 die variablen Kosten.
- Multiplizieren Sie die Preis-Absatz-Funktion mit x und Sie erhalten als Erlösfunktion E(x)=5.000x-10x2.
- Stellen Sie die Gewinnfunktion auf, indem Sie die Gesamtkostenfunktion von der Erlösfunktion subtrahieren. Es ergibt sich G(x)=5.000x-10x2-30.000-1.000x=-10x2+4.000x-30.000.
- Bilden Sie die erste Ableitung nach x und setzen Sie diese 0. Sie erhalten: G'(x)=-20x+4.000=0. Daraus können Sie die gewinnmaximale Menge x=200 ermitteln.
- Überprüfen Sie die zweite Ableitung der Gewinnfunktion nach x. Diese beträgt -20 und ist somit negativ, was die Voraussetzung für ein Gewinnmaximum erfüllt.
- Setzen Sie x in die Preis-Absatz-Funktion ein und Sie erhalten den zugehörigen Preis von p= 3.000. Es ergibt sich demnach ein Cournotscher Punkt mit den Koordinaten x=200 und p=3.000. Das bedeutet, dass der Monopolist auf dem Markt 200 Produkteinheiten zu einem Preis von 3.000 Geldeinheiten verkaufen kann und damit sein Gewinnmaximum erzielt.
- Setzen Sie die Menge in die Gewinnfunktion ein und Sie erhalten den maximalen Gewinn von 370.000 Geldeinheiten.
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