Gewinnmaximum berechnen - so geht's

Gewinnmaximum als Grundlage der BWL

• Wenn Sie Schüler auf einer Wirtschaftsschule sind, Mathematik Leistungskurs haben oder sich einfach für Betriebswirtschaft interessieren oder dieses Fach sogar studieren bzw. in diesem Gebiet arbeiten, ist das Berechnen des Gewinnmaximums eine wichtige Aufgabe.
• Beim Berechnen des Gewinnmaximums wird der Preis bestimmt, bei dem das Unternehmen den größtmöglichen Gewinn erzielen kann, das heißt am meisten Profit erwirtschaftet.
• Um den optimalen Preis berechnen zu können, muss man sowohl die Ertragsfunktion als auch die Kostenfunktion eines Unternehmens und dessen Produktion kennen, da dieses Funktionen den optimalen Preis bestimmen.
• Allgemein könnte man sagen, dass der Preis für ein Produkt bzw. ein Gut nicht zu niedrig sein darf, da sonst die Kosten nicht mehr gedeckt werden. Auf der anderen Seite darf der Preis auch nicht zu hoch sein, da die Konsumenten sonst nichts mehr von diesem Gut kaufen werden.
• Um dieses Problem zu lösen, kann das Gewinnmaximum durch einfache mathematische Formeln berechnen und somit den optimalen Preis finden.

Bestimmung des Gewinnmaximums

• Mathematisch gesehen ist die Gewinnfunktion die Differenz zwischen der Ertragsfunktion und der Kostenfunktion, die einem Unternehmen bekannt sind bzw. in der Schule vorgegeben sind.
• Will man nun das Gewinnmaximum berechnen bzw. den optimalen Preis oder die optimale Menge herausfinden, muss man sowohl die Ertragsfunktion als auch die Kostenfunktion ableiten.
• Die Ableitung der Erlös- bzw. Kostenfunktion nennt man in VWL- bzw. BWL-Grenzertrag bzw. Grenzkosten, während die Differenz aus Grenzertrag und Grenzkosten "Grenzgewinn" heißt.
• Um nun, wie oben erwähnt das Gewinnmaximum zu berechnen, muss als Voraussetzung dafür gelten, dass der Grenzertrag (Ableitung der Ertragsfunktion) gleich den Grenzkosten (Ableitung der Kostenfunktion) ist.
• Anders ausgedrückt könnt man auch sagen, dass der Grenzgewinn gleich null sein muss, da ja Grenzerlös und Grenzkosten gleichgroß sind und die Differenz aus zwei gleich großen Ausdrücken immer gleich null ergibt.
• Um diese Voraussetzung zu erhalten, leiten Sie also einfach die gegebenen Funktionen ab und setzen sie gleich.
• Zuletzt müssen Sie den gleichgesetzten Ausdruck nur noch nach x auflösen und das Ergebnis in die Gewinnfunktion einsetzen, um das Gewinnmaximum bzw. den optimalen Preis zu berechnen.

Gewinnmaximum anhand eines Beispiels berechnen

1. Wenn Sie nun das Gewinnmaximum berechnen sollen und einen Preis von p(x)= 100 - 2x und eine Kostenfunktion von 10000+10x gegeben haben, lautet die Gewinnfunktion G(x)= (100-2x)x-10000+10x.
2. Wenn Sie nun sowohl Erlösfunktion als auch Kostenfunktion ableiten, erhalten Sie E(x)=100-4x bzw. K(x)=10.
3. Nun setzen Sie die beiden Ausdrücke gleich, wodurch Sie 100-4x=10 erhalten.
4. Nun bringen Sie die 100 auf die rechte Seite und erhalten -4x=-90.
5. Wenn Sie das Gewinnmaximum berechnen wollen, teilen Sie die 90 nur noch doch 4 und erhalten für x 22,5.
6. Zum Schluss müssen Sie die 22,5 nur noch in die Gewinnfunktion einsetzen, um den optimalen Preis zu erhalten.