Allgemeine Geradengleichung aus zwei Punkten erstellen - die Matheexpertin erklärt's

Allgemeine Geradengleichung, aus zwei Punkten bestimmt

Um es gleich vorwegzusagen: Eine allgemeine Geradengleichung können Sie aus zwei Punkten auch mithilfe der sog. Zwei-Punkte-Formel bestimmen, die man in (fast) jeder Formelsammlung findet. Wenn Sie diese Formel jedoch in einer Prüfung auswendig kennen müssen, kann das zum Problem werden. Und sie enthält nicht nur Brüche, sondern macht auch wegen ihrer Minuszeichen manchen Rechnern Probleme. Hier soll daher ein Verfahren gezeigt werden, das ohne diese Formel auskommt:

• Die allgemeine Geradengleichung hat die Form y = mx + b. Dabei bezeichnen x und y die Variablen dieser Geraden sowie m die Steigung und b den y-Achsen-Abschnitt, bei dem die Gerade die y-Achse schneidet.
• Jede Gerade ist eindeutig bestimmt, wenn sie durch zwei Punkte P₁ und P₂ führt.
• Wenn Sie also zwei Punkte mit Koordinaten gegeben haben, so können Sie immer die Steigung m und den Abschnitt b berechnen und die Gerade dann entsprechend ihrer allgemeinen Form aufschreiben.
• Bei m und b handelt es sich also sozusagen um zwei Unbekannte, die Sie ausrechnen müssen.


Funktion - Berechnung von b

Bei einer Funktion soll die Konstante "b" berechnet werden. Dabei kann es sich nur um eine lineare …

• Andererseits liegen die beiden Punkte P₁ und P₂ auf der Geraden, das heißt, ihre Koordinaten müssen die Geradengleichung als x- und y-Wert erfüllen.
• Setzen Sie die Koordinaten von P₁ in die allgemeine Geradengleichung y = mx + b ein, so erhalten Sie eine Gleichung mit den Unbekannten m und b.
• Setzen Sie dann die Koordinaten von P₂ ebenfalls in die allgemeine Geradengleichung ein, erhalten Sie eine zweite Gleichung, die ebenfalls die Unbekannten m und b enthält.
• Nun müssen Sie zur Lösung dieser beiden Gleichungen nur noch ein Verfahren auswählen. Dabei ist es egal, ob Sie das Gleichsetzungs-, das Einsetzungs- oder das Additionsverfahren wählen.

Geradengleichung erstellen - ein durchgerechnetes Beispiel

Die gesuchte Gerade soll durch die beiden Punkte P₁ (1/-1) und P₂ (-3/4) gehen.

1. Die allgemeine Geradengleichung heißt y = mx + b.
2. Setzen Sie die x- und y-Koordinaten von P₁ dort ein und Sie erhalten -1 = m + b als erste Gleichung (Achtung, -1 ist die y-Koordinaten, 1 die x-Koordinate).
3. Setzen Sie nun die entsprechenden Koordinaten für P₂ ein und Sie erhalten 4 = -3m + b.
4. Diese beiden Gleichungen mit den Unbekannten m und b müssen Sie nun lösen.
5. Gewählt sei das Gleichsetzungsverfahren. Sie erhalten b = -1 -m aus der ersten Gleichung und b = 4 + 3m aus der zweiten Gleichung.
6. Es gilt -1 -m = 4 + 3m und Sie berechnen hieraus m = -5/4 als Steigung der Geraden.
7. Mit b = -1 -m = -1 +5/4 = 1/4 erhalten Sie den Abschnitt b.
8. Die gesuchte Geradengleichung lautet für dieses Beispiel y = -5/4x + 1/4. Eine Skizze im Koordinatensystem zeigt, dass diese Gerade durch die beiden Punkte geht.