Formel für Halbwertszeit - so berechnen Sie diese richtig

Halbwertszeit - was ist das?

Viele Vorgänge in der Natur zerfallen nach regelmäßigen Gesetzen. Beispiele sind der radioaktive Zerfall eines Präparates, mit Zellgiften behandelte Zellen, aber auch Bierschaum.

• Dabei handelt es sich um einen sogenannten exponentiellen Zerfall, das heißt, das Zerfallsgesetz gehorcht einem exponentiellen Zusammenhang.
• Dabei handelt es sich um eine Funktion, die der Anzahl der Reiskörner auf einem Schachbrett entspricht, nur verdoppelt sich die Anzahl der radioaktiven Kerne in festen Zeitspannen nicht, sondern halbiert sich.
• Diese Zeitspanne, nach der nur noch die Hälfte eines ursprünglich vorhandenen Ausgangsmaterials vorhanden ist, seien es angeregte Atomkerne, lebende Zellen oder die Höhe einer Schaumkrone, nennt man Halbwertszeit. Von 1000 Ausgangsatomen sind nach dieser Zeit dann nur noch 500 vorhanden; die anderen 500 Atomkerne sind durch radioaktiven Zerfall in eine andere Atomart übergegangen.
• Nach wiederum der nächsten Halbwertszeit haben Sie nur noch ein Viertel der Ausgangsmenge etc. Genau genommen weiß man jedoch nicht, wann der letzte Atomkern zerfallen wird, denn es handelt sich um einen rein statistischen Prozess.


Exponentielle Abnahme - Formel erklärt

Bei einer exponentiellen Abnahme handelt es sich in den meisten Fällen um Zerfallsprozesse, egal, …

• Die Halbwertszeit ist eine für den jeweiligen Zerfallsprozess charakteristische Größe. Für einige radioaktive Atomkerne kann sie Millionen von Jahren betragen, andere zerfallen mit einer Halbwertszeit von nur wenigen Millisekunden.
• Die Halbwertszeit kann in diesem Sinne nicht berechnet, sondern nur gemessen werden. So ist nicht per se klar, wie lange die Halbwertszeit für ein bestimmtes radioaktives Präparat ist, diese muss in teilweise mühseligen Messungen experimentell bestimmt werden.
• Daher gibt es auch in diesem Sinne keine Formel, mit der Sie die Halbwertszeit einfach berechnen könnten. 

Formel für die Halbwertszeit - so berechnen Sie diese aus dem Zerfallsgesetz

1. Kennt man jedoch das exponentielle Zerfallsgesetz, kann man daraus die Halbwertszeit berechnen - eine typische Schulaufgabe übrigens, wenn die Eigenschaften von Exponentialfunktionen behandelt werden.
2. Das Zerfallsgesetz hat die allgemeine Form N(t) = N_{o  *}  e^-kt. 
3. Dabei bedeutet N(t) die Anzahl der Atomkerne oder Zellen zu einem bestimmten Zeitpunkt t, N_o die Anzahl zu Beginn der Beobachtung oder Messung (also die Ausgangsmenge), k ist der sogenannte Zerfallsfaktor des Vorgangs. Je größer dieser ist, desto schneller schreitet der Zerfall voran. 
4. Aus diesem Zerfallsgesetz können Sie die Halbwertszeit T leicht berechnen. Es gilt die Bedingung N(T) = 1/2 N_o, mit anderen Worten: Nach der Zeit T ist nur noch die Hälfte der Ausgangsmenge vorhanden. 
5. Diese Bedingung setzen Sie in das Zerfallsgesetz ein:
6. 1/2 N_o = N_{o  *}  e^-kT; beachten Sie, dass Sie hier t = T setzen müssen.
7. Sie formen um: 1/2 = e^-kT
8. Sie logarithmieren die gesamte Gleichung (dieser Trick hilft übrigens immer, wenn man an die Hochzahl, in diesem Fall "T", in einer Gleichung heran will) und erhalten: ln (1/2) = -kT
9. Für die Halbwertszeit erhalten Sie dann die Formel: T = - ln (1/2)/k
10. Umgekehrt lässt sich bei bekannter Halbwertszeit T mit dieser Formel die Zerfallskonstante k ausrechnen und das Zerfallsgesetz aufstellen.