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Im Dreieck die Höhe berechnen - die Formel richtig anwenden

Im Dreieck die Höhe berechnen - die Formel richtig anwenden2:52
Video von Galina Schlundt2:52

Die Höhe ist in jedem Dreieck eine sehr spezielle Strecke, denn sie steht auf der Dreieckseite senkrecht. Mit etwas Geschick lässt sie sich mit Formeln berechnen.

Was Sie benötigen:

  • Papier und Bleistift
  • Grundwissen "Dreieck"
  • evtl. Taschenrechner

Vorbemerkungen - das sollten Sie immer tun

  • Bevor Sie mit dem Berechnen der Höhe (oder auch anderen Größen) im Dreieck loslegen, sollten Sie stets eine Skizze anfertigen. Dabei kommt es gar nicht darauf an, die Sachlage genau zu treffen, sondern sich ein ungefähres Bild von den gegebenen Größen zu machen.
  • Zeichnen Sie in diesem Fall ein beliebiges Dreieck als Skizze.
  • Markieren Sie in diesem Dreieck (mit rot) die gegebenen Größen sowie die gesuchte Größe, in diesem Fall die Höhe, die Sie berechnen wollen.
  • Aus dieser Skizze lässt sich oft schon erkennen, mit welcher Formel Sie arbeiten müssen.
  • Im Folgenden sind - aus der Vielzahl der möglichen Aufgabenfälle - zwei Berechnungen ausgewählt, mit denen Sie es zu tun haben könnten.

Höhe nach Pythagoras berechnen - so geht's

Die Höhe im, Dreieck steht immer (!) senkrecht auf der dazugehörigen Dreieckseite. Dadurch teilt jede der drei Höhen das Dreieck immer in zwei rechtwinklige Dreiecke, in denen die Formel des Pythagoras gilt.

  • Ausgangslage für diesen Fall ist, dass Sie für eines dieser beiden rechtwinkligen Dreiecke zwei Seiten gegeben haben (Foto links).
  • Die Höhe, die Sie berechnen wollen, ist in diesem Fall eine der beiden Katheten, die gegenüberliegende Dreieckseite ist die Hypothenuse und die andere Kathete entspricht dem Teil der Dreieckseite, die von der Höhe "zerschnitten" wird. 
  • Die Formel des Pythagoras muss für diesen Fall nach der Höhe, sprich: nach dem Kathetenquadrat, aufgelöst werden.

Die Dreieckshöhe aus dem Winkel bestimmen

Da - wie oben beschrieben - die Höhe das gegebene Dreiecks in zwei rechtwinklige Teildreiecke zerlegt, gelten für diese beiden Dreiecke die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens uneingeschränkt.

  • Ausgangslage bei diesem Dreieck ist, dass Sie eine Seite des Dreiecks  (nicht die mit der Höhe) sowie einen anliegenden Winkel gegeben haben (Foto rechts). 
  • Diese Dreieckseite bildet wieder die Hypothenuse und die Höhe in diesem Fall die Gegenkathete im Teildreieck. Sie müssen also als Winkelfunktion den Cosinus benutzen.
  • Die Formel lautet cos (Alpha) = Gegenkathete / Hypothenuse = Höhe / Dreieckseite.
  • Diese Formel muss nach der gesuchten Höhe aufgelöst werden. Sie erhalten: Höhe = Dreieckseite x cos (Alpha).

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