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Kreisabschnitt berechnen - so geht's

Kreisabschnitt berechnen - so geht's 1:42
Video von Samuel Klemke1:42

Zwei Kreisabschnitte erhalten Sie, wenn Sie durch einen Kreis eine gerade Linie ziehen, die nicht unbedingt durch den Mittelpunkt gehen muss. Die Berechnung solcher Flächen hat in der Praxis unter anderem bei Materialbedarfsplanungen oder im Rohrleitungsbau Bedeutung. Nicht nur in der Schule, sondern auch im Alltag können Sie in die Situation kommen, den Flächeninhalt oder andere Maße einer solchen Form berechnen zu müssen. Die folgenden Hinweise sollen Ihnen dabei helfen.

So ermitteln Sie die Fläche des Kreisabschnitts

  • Bei den folgenden Berechnungen wird der kleinere der beiden Kreisabschnitte betrachtet. Wenn Sie den Flächeninhalt des größeren Abschnitts ermitteln wollen, ziehen Sie einfach die Fläche des kleineren Abschnitts von der Gesamtfläche des Kreises ab. Wenn es sich um zwei gleich große Halbkreise handelt, teilen Sie die Kreisfläche durch zwei.
  • Die Gerade, die den Kreisabschnitt vom Kreis trennt, schneidet den Kreisbogen in den Punkten A und B. Zeichnen Sie vom Mittelpunkt M aus jeweils eine Verbindung zum Punkt A und zum Punkt B. Dadurch ergibt sich ein Kreissektor in Form eines Tortenstücks.
  • Den Flächeninhalt A des Kreisabschnitts können Sie aus dem Radius r des Kreises, dem Winkel α, der am Mittelpunkt M die „Spitze“ des Kreissektors bildet und der Kreiskonstante π berechnen. Die Kreiskonstante π ist eine feste Zahl ohne Einheit, die auf den meisten Taschenrechnern gespeichert ist. Gerundet beträgt sie 3,14.
  • Die Formel zur Berechnung der Kreisabschnittsfläche lautet: A = r² / 2 • ( α - sin α). Wenn der Winkel α in Grad angegeben ist, müssen Sie ihn vor der Berechnung durch Multiplikation mit π / 180 in das Bogenmaß umrechnen. Bei der Sinus-Berechnung mit dem Taschenrechner ist diese Umrechnung in der Regel nicht erforderlich. Excel erfordert jedoch bei der Berechnung der Winkelfunktionen das Bogenmaß.
  • Die Einheit des Flächeninhalts richtet sich danach, in welcher Einheit der Radius angegeben wurde. Haben Sie zum Beispiel mit Zentimetern gerechnet, ergibt sich der Flächeninhalt in cm².
Bild 1

So berechnen Sie weitere Größen

  • Wenn Sie den Mittelpunktwinkel α und den Radius kennen, können Sie auch die Länge der Kreissehne s berechnen. Das ist die Strecke zwischen den Punkten A und B, also zwischen den Schnittpunkten der trennenden Linie mit dem Kreisbogen. Die Formel lautet: s = 2 r • sin (α / 2).
  • Die Länge des Kreisbogens b, der den Kreisabschnitt begrenzt, berechnen Sie mit der Formel b = r • π • α / 180°. Bei dieser Formel verwenden Sie α im Gradmaß.
  • Stellen Sie sich vor, Sie verbinden den Kreismittelpunkt M mit dem Mittelpunkt der Kreissehne und lassen diese Linie auch den Kreisbogen schneiden. Die Strecke zwischen dem Mittelpunkt der Kreissehne und dem Schnittpunkt am Kreisbogen nennt man die Segmenthöhe h. Diese berechnen Sie mit der Formel h = r - ( r • cos (α / 2) ). Auch für die Kosinusberechnung mit dem Taschenrechner brauchen Sie α nicht in das Bogenmaß umzurechnen.
  • Wenn Ihnen der Winkel α nicht bekannt ist, können Sie den Flächeninhalt des Kreisabschnitts auch aus dem Radius, der Segmenthöhe und den Längen des Kreisbogens und der Kreissehne mit folgender Formel berechnen: A = r • b / 2 - s • ( r - h ) / 2.
Bild 3

Falls Sie keine Zeit für umfangreiche Berechnungen haben oder Ihre Ergebnisse kontrollieren möchten, bietet Ihnen das Internet Möglichkeiten für schnelle Online-Kreisberechnungen.

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