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Kosinussatz umstellen - so wird der Winkel berechnet

Kosinussatz umstellen - so wird der Winkel berechnet3:02
Video von Galina Schlundt3:02

Der Kosinussatz ist eine wichtige Berechnungsgrundlage im allgemeinen Dreieck. Mit ihm lassen sich Seiten und Winkel berechnen. Allerdings muss man den Kosinussatz für die Winkelberechnung umstellen.

Der Kosinussatz - das sollten Sie wissen

  • Der Kosinussatz wird für Seiten- und Winkelberechnungen in einem allgemeinen Dreieck verwendet.
  • Aufgrund seiner Ähnlichkeit (zumindest im ersten Teil) mit dem Satz des Pythagoras wird er auch als erweiterter Pythagoras bezeichnet, der in jedem Dreieck gilt.
  • Die Formel für den Kosinussatz lautet: c² = a² + b² - 2a*b*cos(Gamma). Dabei bedeuten a, b und c die Seiten des gegebenen Dreiecks (übrigens in beliebiger Reihenfolge, sprich: c kann, muss aber nicht die längste Seite sein) und Gamma der Winkel zwischen den beiden Seiten a und b (diese Lage von Gamma ist jedoch wichtig).
  • Eine Grundaufgabe für den Kosinussatz kann beispielsweise so aussehen, dass man aus zwei gegebenen Seiten a und b und dem dazwischen liegenden Winkel "Gamma" die dritte Seite des Dreiecks berechnet.

Winkel berechnen - den Kosinussatz dafür umstellen

Der Kosinussatz kann jedoch auch für eine andere Art von Dreiecksberechnung genutzt werden, nämlich bei gegebenen Seiten a, b und c die Winkel des Dreiecks zu berechnen. Anmerkung: Da es sich um ein allgemeines Dreieck handelt, können hierfür nicht die (nur für rechtwinklige Dreiecke geltenden) Winkelfunktionen sin, cos oder tan benutzt werden. Ein häufiger Fehler übrigens!

  1. Will man mit dem Kosinussatz (zunächst einen) Winkel im Dreieck berechnen, so müssen Sie die Formel für die Winkelberechnung umstellen. Dabei gehen Sie wie folgt vor: Zunächst bringen Sie die den Cosinusausdruck, in dem ja der Winkel steckt, auf die linke Gleichungsseite und erhalten c² + 2a*b*cos(Gamma) = a² + b².
  2. Nun bringen Sie c² auf die rechte Gleichungsseite, schließlich wollen Sie den Winkelausdruck links isolieren: 2a*b*cos(Gamma) = a² + b² - c².
  3. Nun müssen Sie noch durch 2a*b teilen und erhalten (den nicht einfachen) Ausdruck: cos(Gamma) = (a² + b² - c²)/2a*b. Beachten Sie bei dieser Umformung, dass sich auf der rechten Seite der Gleichung ein Bruchterm ergibt. 
  4. Nun könnten Sie durch die Bildung der inversen Cosinusfunktion (cos-1 oder arccos) den Winkel "Gamma" direkt als Berechnungsformel hinschreiben. Da dies jedoch die Formel nur komplizierter machen würde, empfiehlt es sich, hier beim Cosinusausdruck zu verbleiben und erst nach Berechnen des rechten Ausdrucks zum Taschenrechner zu greifen, wie das folgende Beispiel zeigt.

Winkel im Dreieck - ein durchgerechnetes Beispiel

Als Beispiel für die Berechnung eines Winkels nach Umstellen des Kosinussatzes soll das Dreieck mit a = 3 cm, b = 4 cm und c = 2 cm als einfache Zahlenwerte gewählt werden. In diesem Fall errechnet man den Winkel "Gamma" zwischen den beiden Seiten a und b. So gehen Sie vor:

  • Setzen Sie die gegebenen Seiten in den umgestellten Kosinussatz ein. Sie erhalten: cos(Gamma) = (a² + b² - c²)/2a*b = (9 + 16 - 4)/2*3*4 = 21/24 = 0,875.
  • Der Taschenrechner hilft hier beim Berechnen des Winkels, indem Sie INV COS(0,875) = 28,96° berechnen (je nach Modell des Rechners evtl. andere Tastenbelegung).
  • Einen weiteren Winkel dieses Dreiecks könnten Sie jetzt berechnen, indem Sie den Kosinussatz für eine andere Seitenkombination nutzen. Einfacher ist es jedoch in diesem Fall, den Sinussatz zu verwenden, mit dem Sie wesentlich einfacher arbeiten können.
  • Und den dritten und letzten Winkel berechnen Sie, indem Sie die Winkelsumme von 180° im Dreieck ausnutzen. Damit wären alle Seiten und alle Winkel in diesem Beispieldreieck bestimmt.

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