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Parallelogramm: Diagonale berechnen - so geht's

Parallelogramm: Diagonale berechnen - so geht's2:29
Video von Elke Callsen-Sprätz2:29

Eine Aufgabe aus der Mathematik: Sie sollen in einem Parallogramm die Diagonale berechnen. Wenn die Seiten und einer der vier Winkel gegeben ist, können Sie dies mithilfe des Cosinussatzes bewältigen.

Was Sie benötigen:

  • Bleistift und Papier
  • evtl. Taschenrechner
  • Cosinussatz

Berechnungen am Parallelogramm - so bereiten Sie sie vor

Egal, um welche Aufgabe es sich handelt: Machen Sie zunächst immer eine Skizze, in der Sie die gegebenen Stücke zum Beispiel mit roter Farbe markieren.

  1. Wenn Sie beispielsweise in einem Parallelogramm die Diagonale berechnen sollen, haben Sie in der Aufgabe die Länge der beiden Parallelogrammseiten sowie einer der vier Winkel gegeben.
  2. Zeichnen Sie also in Ihrer Skizze ein Parallelogramm, das möglichst unterschiedlich lange Seiten haben sollte. Zur Erinnerung: Dabei handelt es sich um ein "schiefes" Rechteck, bei dem jeweils gegenüberliegende Seiten und Winkel gleichgroß sind. Markieren Sie die gegebenen Stücke.
  3. Zeichnen Sie in Ihre Skizze die beiden Diagonalen ein, die eine unterschiedliche Länge aufweisen. Je eine Diagonale teilt das Parallelogramm in zwei allgemeine Dreiecke auf.
  4. Beide Diagonalen können Sie mit dem Cosinussatz (Formelsammlung) berechnen, wobei die Dreiecksaufteilung die Grundlage dafür liefert.

Diagonalen berechnen - so wird's gemacht

  1. Zunächst berechnen Sie den weiteren Winkel in dem Parallelogramm, falls nicht der Winkel zwischen beiden Seiten gegeben sein sollte. Da gegenüberliegende Winkel dort gleichgroß sind, erhalten Sie den fehlenden Winkel, indem Sie von 180° den gegebenen abziehen.  Die Winkelsumme im Parallelogramm beträgt 360°.
  2. Der Cosinussatz, eine Art erweiterter Pythagoras für allgemeine Dreiecke, erlaubt es, aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen (!) Winkel die dem Winkel gegenüberliegende Seite zu berechnen. In den meisten Fällen ist dafür ein Taschenrechner erforderlich.
  3. Die Formel für den Cosinussatz lautet: c² = a² + b² - 2a * b * cos(Gamma). Gamma ist der Winkel, der der Seite c gegenüberliegt und von den Seiten a und b eingeschlossen wird. Die Seite c ist in diesem Fall die eine Diagonale des Parallelogramms.

Diagonalen - ein durchgerechnetes Beispiel

Ein Parallelogramm habe die beiden Seiten a = 3 cm und b = 4 cm. Der Winkel zwischen diesen beiden Seiten sei Gamma = 70°.

  1. Entwerfen Sie eine Skizze (Abb.).
  2. Setzen Sie die Werte in den Cosinussatz ein.
  3. Es ergibt sich für die erste Diagonale: c² = 9 + 16 - 24 * cos(70°) = 25 - 8,2 = 16,8. Durch Ziehen der Wurzel erhalten Sie für die erste Diagonale c = 4,1 cm (gerundet auf 2 Stellen hinter dem Komma).
  4. Für die zweite Diagonale berechnen Sie zunächst den zweiten Winkel im Parallelogramm. Er beträgt 110° (180°-70°). Wie die Skizze zeigt, muss dieser Winkel größer als 90° sein.
  5. Die zweite Diagonale berechnen Sie nun ebenfalls mit dem Cosinussatz. Beachten Sie, dass hierbei die gleichen Dreieckseiten zum Einsatz kommen, jedoch der kleinere Winkel, den sie bei der zweiten Diagonalen miteinander bilden.
  6. Sie berechnen c² = 9 + 16 - 24 * cos(110°) = 25 + 8,2 = 33,2 und c = 5,76 cm. Beachten Sie, dass cos(110°) negativ wird und somit das Ergebnis des Korrekturgliedes positiv. Sie werden bemerkt haben, dass die größere Diagonale auch dem größeren Winkel gegenüberliegt - die Skizze zeigte es bereits.

Sonderfall - gleichseitiges Parallelogramm

  • Bei einem gleichseitigen Parallelogramm handelt es sich um eine Raute (oft auch Karo genannt). Die Winkel in diesem gleichseitigen Parallelogramm sind jedoch nicht zwingend alle 90°, denn dann handelte es sich um ein Quadrat.
  • Auch in diesem Parallelogramm sind die beiden Diagonalen nicht gleich lang. Verdeutlichen Sie sich diesen Sachverhalt an einer Skizze. 
  • Nur im Sonderfall Rechteck bzw. Quadrat (auch dies sind ja spezielle Parallelogramme!) sind beide Diagonalen gleichlang.

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