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Wie berechnet man die Grundfläche eines Prismas? - Anleitung

Wie berechnet man die Grundfläche eines Prismas? - Anleitung3:49
Video von Galina Schlundt3:49

In der Geometrie ist ein Prisma ein Körper mit zwei parallelen Flächen, diese Flächen sind die Grundflächen. Wie man die Grundfläche eines Prismas berechnet, hängt davon ab, welche Form die Grundfläche hat.

So berechnet man Grundflächen mit 3 Seiten

Ein Prisma mit 3 Seiten hat eine dreieckige Grundfläche. Wie Sie sicher noch wissen, gibt es verschiedene Möglichkeiten, wie man den Flächeninhalt von Dreiecken berechnet.

  1. Wenn Ihnen die Länge mindestens einer Seite des Dreiecks bekannt ist und die der Höhen auf dieser Seite, müssen Sie nur die Länge der Seite mal die Höhe rechnen und das Ergebnis durch 2 teilen. Die Höhe ist die Senkrechte auf einer Seite, die im gegenüberliegenden Eckpunkt endet.
  2. Ein rechtwinkliges Prisma hat ein rechtwinkliges Dreieck als Grundfläche, in dem Fall können Sie die Länge der Seiten, die den rechten Winkel bilden, multiplizieren und durch 2 teilen, um die Grundfläche zu ermitteln.
  3. Im gleichschenkligen Dreieck befindet sich die Höhe der Grundseite exakt in der Mitte dieser Seite. Sie können in dem Fall die Höhe über den Satz des Pythagoras errechnen hc2= a2-(1/2 c)2. Die Fläche des Dreiecks ist also 1/2.c. hc, wobei hc die Wurzel von hc2 ist. Zur Erinnerung: c2=a2+b2, wobei c die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck ist. hc und c/2  sind in diesem Fall eine kurze Seite des rechtwinkligen Dreiecks und a die längste Seite.
  4. Beim gleichseitigen Prisma ist c = a, weil das Dreieck aus 3 gleichen Seiten die a genannt werden besteht. in dem Fall ist h2=a2-(1/2a)2=a2-1/4 a2=3/4 a2.
  5. H ist also a/2 mal Wurzel 3 und die Fläche F = 1/2 a h = a/2 a/2 Wurzel 3 = a2/4 Wurzel 3.
  6. Sollten Ihnen 3 Seiten des Prismas bekannt sein und dieses weder gleichseitig, gleichschenklig noch rechtwinklig sein, müssen Sie die Fläche nach dem Satz des Heron berechnen. Bilden Sie die Summe aus den 3 Seiten und teilen diese durch 2, sie haben den halben Umfang, das wird s genannt. Berechnen Sie nun drei 3 Werte, die sich aus der Differenz des Umfangs und jeweils einer Seite ergeben, Sie rechnen also s-a, s-b und s-c. Nun müssen Sie diese 3 Werte miteinander multiplizieren und zusätzlich mit s. Die Wurzel aus dem Produkt dieser 3 Zahlen ist der Flächeninhalt des Dreiecks.

Das sind die verschiedenen Möglichkeiten, wie man die Grundfläche eines dreieckigen Prismas berechnet.

Flächenberechnung bei einem viereckigen Prisma

  • Bei einem quadratischen Prisma berechnen Sie die Grundfläche nach der Formel a2 und bei einem rechteckigen nach der Formel a.b. Sie müssen also nur 2 Seiten miteinander multiplizieren die rechtwinklig aufeinander stehen.
  • Die Grundfläche des Prismas kann aber auch ein Trapez sein oder ein Parallelogramm. Hier müssen Sie entweder den Abstand der der parallelen Seiten kennen oder diesen nach dem Satz Pythagoras berechnen, indem Sie die Figuren geschickt in Dreiecke zerlegen. Die Fläche ist beim Parallelogramm Seite mal Seitenabstand (auch als g.h bezeichnet) und im Fall des Trapezes sie Summe der beiden parallelen Seiten durch 2 multipliziert mit dem Abstand ((a+c)/2.h).

Grundfläche eines regelmäßigen Prismas berechnen

Ein regelmäßiges Prisma kann aus beliebig vielen Seiten bestehen, die aber alle gleich lang sind. Regelmäßige Prismen sind auch gleichschenklige Dreiecke oder quadratische Prismen. Aber auch 6-eckige, 8-eckige oder Prismen mit beliebig vielen Seiten gehören dazu. Man spricht in dem Fall von n-eckigen Prismen. Die Grundflächen sind regelmäßige Polygone. So berechnet man die Grundfläche dieses Prismas:

  1. Wie Sie an der Skizze sehen können, ist es kein Problem, das Polygon in gleichschenklige Dreiecke zu teilen. Die Grundseite der Dreiecke ist die Kantenlänge a des Prismas und die Seitenlänge der Radius des Umkreises R. Die Höhe der Dreiecke entspricht dem Inkreisradius r. Ferner wissen Sie, dass der Winkel in der Spitze des Dreiecke 360° : n ist. Der Winkel des rechtwinkligen Dreiecks, das aus h, a/2 und R gebildet wird, ist also 180° : n.
  2. Die Fläche des Polygons, das die Grundfläche des Prismas bildet, ist n mal die Fläche der einzelnen Dreiecke. Sie müssen nun als die Fläche eines Dreiecks berechnen und mit n multiplizieren.
  3. Je nachdem, welche Seiten Ihnen bekannt sind, müssen Sie die für die Flächenberechnung notwendigen Werte h und a bestimmen. Beachten Sie dabei, dass es folgenden Zusammenhang gibt: a = 2 R sin (180°/n) und r=h= R cos (180°/n). So können Sie den Flächeninhalt leicht bestimmen, indem Sie die fehlenden Größen einfach ausrechnen.

Da die Grundfläche eines Prismas sehr unterschiedlich sein kann, berechnet man diese immer entsprechend der Formel, die für die jeweilige Grundfläche verwendet werden muss.

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