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Sinus, Cosinus und Tangens - eine Erklärung von der Matheexpertin

Sinus, Cosinus und Tangens - das hatte doch etwas mit Winkeln zu tun, oder? Wenn Sie bei diesen Begriffen unsicher sind, sollten Sie sich in diese Erklärung vertiefen.

So sollte Ihre Skizze aussehen.
So sollte Ihre Skizze aussehen.

Was Sie benötigen:

  • Bleistift und Papier (für Skizzen)
  • Taschenrechner

Skizze für ein rechtwinkliges Dreieck - so gehen Sie vor

Vorbemerkung: Die sogenannten Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens sind nichts anderes als Seitenverhältnisse. In der vorgeführten Form gelten Sie nur für rechtwinklige Dreiecke (!) und bilden dort eine wichtige Grundlage, um fehlende Stücke im Dreieck zu berechnen. Um die folgende Erklärung dieser wichtigen Funktionen zu verstehen, sollten Sie sich zunächst ein Hilfsmittel, nämlich eine Skizze anfertigen, in der Sie die genannten Größen eintragen.

  • Zeichnen Sie ein rechtwinkliges Dreieck. Günstigerweise wählen Sie es so, dass die Hypotenuse (also die längste Seite des Dreiecks) unten ist und der rechte Winkel (die 90°) oben sind. Links und rechts befinden sich dann die beiden Katheten.
  • Benennen Sie die Hypotenuse mit "c" und die linke und rechte Ecke des Dreiecks mit A und B (Ecken haben große Buchstaben).
  • Der Winkel bei A sei α (Alpha), der Winkel bei B sei β (Beta).
  • Die Ecke an der Spitze des Dreiecks benennen Sie mit C, der Winkel dort beträgt (wie bereits vorgesehen) 90°.
  • Wie können Sie den Sinus eines Winkels, zum Beispiel von "Beta", berechnen? Entweder …

  • Die Kathete, die der Ecke A gegenüberliegt, benennen Sie mit "a", die andere Kathete mit "b". 

Sinus, Cosinus und Tangens - eine ausführliche Erklärung

  • Schon die Mathematiker im alten Griechenland stellten fest, dass alle rechtwinkligen Dreiecke, die Sie zu einem bestimmten Grundwinkel α (beispielsweise 30°) gezeichnet haben, alle ähnlich aussehen. Zwar mögen diese unterschiedlich groß sein, die Gestalt all dieser Dreiecke ist jedoch gleich.
  • Letztendlich hängt das Aussehen des Dreiecks nur vom Winkel bzw. vom Verhältnis der Seiten untereinander ab. 
  • Auf dieser Feststellung fußen die Definitionen von Sinus, Cosinus und Tangens.
  • Für den Sinus gilt: sin (Winkel) = Gegenkathete geteilt durch die Hypotenuse. Dabei ist unter "Gegenkathete" die Kathete gemeint, die dem entsprechenden Winkel gegenüberliegt. Und in dieser Form sollten Sie sich die Definition auch merken, denn die Buchstaben für die Seiten ändern sich ja von Dreieck zu Dreieck und auch in vielen Anwendungen werden Sie ganz andere Abkürzungen für die Seiten wählen.
  • Ist der von Ihnen anvisierte Winkel in Ihrer Skizze zum Beispiel α, dann ergibt sich die Formel sin α = a/c. Für den Winkel β lautet die Sinusformel jedoch sin β = b/c.
  • Für den Cosinus gilt: cos (Winkel) = Ankathete geteilt durch die Hypotenuse. Dabei versteht man unter "Ankathete" die dem Winkel anliegende Kathete.
  • In Ihre Skizze übersetzt gilt dann: cos α = b/c und cos β = a/c. Wenn Sie genau hinschauen, werden Sie erkennen, dass zwischen Sinus und Cosinus ein Zusammenhang besteht (auf den hier jedoch nicht näher eingegangen werden soll).
  • Die dritte Winkelfunktion, der Tangens, wird immer dann benötigt, wenn die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck nicht bekannt ist. Es gilt: tan (Winkel) = Gegenkathete geteilt durch die Ankathete.
  • Wenn Sie zu Ihrer Skizze zurückkehren, können Sie diese Definition umsetzen: tan α = a/b und tan β = b/a. Auch hier lässt sich natürlich ein Zusammenhang erkennen.

Sin, Cos und Tan - einige Beispiele

Für die folgenden Beispiele und Erklärung benötigen Sie einen Taschenrechner mit den entsprechenden Winkelfunktionen. Alle genannten Größen beziehen sich auf die Skizze.

  • In einem rechtwinkligen Dreieck sei die Hypotenuse c = 5 cm und der Winkel α = 35 °. Mit sin 35° = a/5cm können Sie die Kathete a = 2,87 cm berechnen. Die Kathete b ergibt sich über den Cosinus oder mit dem Satz des Pythagoras.
  • In einem rechtwinkligen Dreieck seien die beiden Katheten a = 2,5 cm und b= 4 cm. Die Hypotenuse berechnen Sie mit dem Satz des Pythagoras. Die beiden Winkel α und β ergeben sich mit dem Tangens. Es gilt: tan α = 2,5 cm/4cm = 0,625. Die inverse Winkelfunktion tan-1  (arctan oder INV TAN, je nach Modell) auf Ihrem Taschenrechner liefert den Wert α = 32°. Den anderen Winkel β errechnen Sie zu β = 90° - α = 58°.
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