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Wie berechnet man die Höhe eines Dreiecks - so geht's

Wie berechnet man die Höhe eines Dreiecks - so geht's3:50
Video von Laura Klemke3:50

Nicht nur um die Fläche eines Dreiecks zu bestimmen, benötigt man die Höhe des Dreiecks. Auch bei vielen anderen Fragestellungen ist es nötig, dass man die Höhe berechnet. Hier erfahren Sie, wie es gelingt.

Wie wird die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet?

  • Bei einem rechtwinkligen Dreieck kann die Höhe h des Dreiecks leicht berechnet werden. Wie so oft kommt hier wieder der Satz des Pythagoras zum Einsatz, falls Sie nicht alle Kantenlängen kennen.
  • Die Höhe des Dreiecks wird immer senkrecht zur Grundseite eingezeichnet. Da bereits ein rechter Winkel vorliegt, kann man die eine Kathete als Höhe und die andere Kathete als Grundseite des Dreiecks nehmen.
  • Sollen Sie die Höhe des Dreiecks an der Hypotenuse bestimmen, so müssen Sie hier den Höhensatz von Euklid verwenden.

Der Höhensatz von Euklid

  1. Wenn Sie die drei Seiten des Dreiecks a, b und c gegeben haben, müssen Sie p und q bestimmten. Die Grundseite c wird durch die Höhe h in die Teilabschnitte p und q unterteilt. Berechnet wird p und q mit dem Kathetensatz von Euklid.
  2. Die Formeln des Kathetensatzes von Euklid sehen wie folgt aus: a2 = c × p und b2 = c × q. Durch das Einsetzen der Seitenlängen a, b und c erhalten Sie p und q. Wenn Sie p oder q bereits gegeben haben, können Sie den fehlenden Wert auch mit der Formel c = p + q  bestimmen. 
  3. Die Höhe h, die die Hypotenuse c in die Abschnitte p und q unterteilt, kann nun mit dem Höhensatz von Euklid berechnet werden. Die Formel lautet h2 = p × q. Durch das Einsetzen von p und q und anschließendem Wurzelziehen erhalten Sie also h. Hier ist natürlich nur der positive Wert von Interesse. So manches Mal ist es deutlich einfacher nicht schriftlich oder im Kopf, sondern mit einem Taschenrechner die Wurzel zu ziehen.

Berechnung der Höhe eines nicht rechtwinkligen Dreiecks

  1. Für die Bestimmung der Höhe h eines nicht rechtwinkligen Dreiecks benötigt man den Sinussatz bzw. den Kosinussatz, die Seitenlängen und die Winkel des Dreiecks. Haben Sie nur die Seitenlängen gegeben, so können Sie die Winkel ebenfalls mit diesen Sätzen bestimmen.
  2. Setzen Sie die Werte in die Höhenformeln ein.
    ha = c × sin(β) = b × sin(γ),
    hb = a ×  sin(γ) = c × sin(α) und
    hc = a × sin(β) = b × sin(α).
  3. Durch einfaches Multiplizieren erhalten Sie dadurch die gesuchten Höhen.

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