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Aufleitungsregeln - so funktioniert die Aufleitung von Funktionen

Aufleitungsregeln - so funktioniert die Aufleitung von Funktionen4:01
Video von Galina Schlundt4:01

Die Aufleitungsregeln werden in der Oberstufe des Gymnasiums im Rahmen der Integralrechnung eingeführt. Die Aufleitung, auch "Integration" genannt, bildet die Umkehrung zur Differentiation. Mithilfe der Integration bestimmt man zu einer gegeben Funktion eine Stammfunktion.

Aufleitungsregeln und Integration - Vorüberlegungen

  • Die Aufleitungsregeln benötigen sie immer dann, wenn Sie die Stammfunktion zu einer gegebenen Funktion suchen. Ein wichtiger Anwendungsbereich ist damit die Integralrechnung, in der der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung eine zentrale Rolle spielt.
  • Nicht jede Funktion ist integrierbar, d. h. es gibt Funktionen, die keine Stammfunktion besitzen.
  • Je nach Funktionstyp ist es teilweise sehr schwer, eine Stammfunktion anzugeben.
  • Ist eine Funktion integrierbar, dann gibt es immer unendlich viele Stammfunktionen, denn addiert man zu einer berechneten Stammfunktion die Konstante C hinzu, dann erhält man eine andere Stammfunktion. Eine Konstante fällt durch den Ableitungsvorgang bekanntlich weg und so erhält man durch Ableiten der neuen Stammfunktion ebenfalls die Ausgangsfunktion zurück.
  • Beispielsweise lässt sich für die Funktion f(x)=x2 sehr einfach eine Stammfunktion angeben. Die Stammfunktion lautet F(x)=1/3x3, denn durch Differenzieren von F(x)=1/3x3 erhält man die Ausgangsfunktion. Alle Stammfunktionen lassen sich durch FC=1/3x3+C angeben, wobei C ein beliebiges Element aus den reellen Zahlen ist.
  • Auch in der Mathematik geht nicht immer alles glatt: Vor allem Flächen haben nicht …

So finden Sie die Stammfunktion

  • Ist die Funktion allerdings nicht von so einfacher Art wie in unserem obigen Beispiel, muss man sich teilweise anderen Hilfsmitteln bedienen.
  • Eine der möglichen Aufleitungsregeln ist z. B. die partielle Integration: Die partielle Integration ist die Umkehrung der Produktregel aus der Differentialrechnung. Sie lässt sich auf einfache Weise herleiten, indem Sie die Produktregel für die Funktionen f und g mit (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) auf beiden Seiten integrieren und umstellen. Erfolgreich anwenden können Sie diese Regel vor allem, wenn eine Funktion besonders einfach ist. Das Standardbeispiel in der Literatur sind die Funktionen f(x)=1 und g(x)=ln(x). Schreiben Sie nun das Integral von ln(x) durch einen simplen mathematischen Trick als Integral von 1*ln(x) und wenden Sie die obige Formel an, so erhalten Sie die Stammfunktion von ln(x).
  • Eine der weiteren Aufleitungsregeln ist die Integration durch Substitution: Die Integration durch Substitution hilft Ihnen bei einigen schwierigen Funktionen weiter, um die Stammfunktion zu ermitteln. Dabei müssen Sie einen Teil Ihrer Funktion möglichst geschickt substituieren und dann das Integral auf einfache Weise lösen. Vorsicht: Die Integrationsgrenzen ändern sich dadurch auch! Im zweiten Schritt fügen Sie wieder Ihre ursprüngliche Funktion ein und erhalten die gewünschte Stammfunktion.
  • Bei gebrochen rationalen Funktionen hilft auch häufig eine Partialbruchzerlegung weiter.
  • Schauen Sie sich am besten einfache Beispiele in der gängigen Fachliteratur an und wenden diese sukzessive auf schwierigere Funktionen an.

Für Anfänger ist es häufig schwer, eine Stammfunktion zu finden. Besonders bei schwierigen Integralen ist es daher unumgänglich die obigen Regeln zu kennen und anwenden können. Ein weiterer Tipp für Sie: Für schwierigere Integrale gibt es Tabellen, in denen Sie vielleicht Ihre benötigte Funktion finden.

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