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Randwerte bestimmen - so klappt's bei Funktionen

Randwerte bestimmen - so klappt's bei Funktionen3:58
Video von Galina Schlundt3:58

"An den Grenzen gibt es die interessantesten Phänomene" - dieser Satz gilt zuweilen auch für Funktionen, nämlich am Rand. So bestimmen Sie diese Randwerte.

Funktionen der Form y = f(x) können auf endlichen Intervallen, aber auch auf einem unendlichen Bereich, beispielsweise auf den kompletten reellen Zahlen definiert sein. Beide Fälle führen zu unterschiedlichen Randwerten und sollen daher getrennt betrachtet werden.

Funktionen auf einem endlichen Intervall

In diesem Fall ist die Funktion f(x) auf einem Intervall [a, b] definiert, sprich: nur zwischen den Zahlen a und b gibt es auch einen Wertebereich, also y-Werte.

  • In diesem Fall lassen sich die Randwerte relativ leicht bestimmen, Sie müssen lediglich aus der Funktionsgleichung bzw. aus der Definition der Funktion die entsprechenden Werte f(a) bzw. f(b) berechnen.
  • Eine weitergehende Aufgabe aus der Analysis ist es, für eine solche Funktion die Extrema, sprich: Minimum und Maximum, zu bestimmen.
  • In diesem Fall kann es durchaus sein, dass die Funktion zwar im Intervall [a, b] ein lokales Minimum xe (Bed. f'(xe) = 0 und f''(xe) > 0) hat, jedoch kein Maximum. In diesem Fall müssen Sie zusätzlich überprüfen, ob die Randwerte der Funktion, also f(a) und f(b) nicht eventuell kleiner sind, als dieses Minimum. Auch kann es vorkommen, dass einer der beiden Werte das (globale) Maximum der Funktion ist.
  • Hierzu ein Beispiel: Betrachten Sie die Funktion f(x) = x². Es handelt sich um die Ihnen bekannte Normalparabel. Diese sei jedoch auf dem Intervall [-2, +1] definiert.
  • Die Randwerte sind f(-2) = 4 sowie f(+1) = 1. Bei xe = 0 liegt ein (lokales) Minimum vor. Das globale Maximum dieser auf einem Intervall definierten Funktion wird jedoch beim Randwert -2 angenommen. 

Randwerte bestimmen - so klappt es mit Grenzwertüberlegungen

Viele Funktionen, die über einen unendlichen Bereich oder ganz R definiert sind, streben bei wachsenden x-Werten bestimmten Werten entgegen. Mit etwas mathematischem Zahlengefühl lassen auch diese Randwerte sich in vielen Fällen leicht bestimmen.

  • Die Funktion f(x) = 1/x ist zum Beispiel für alle reellen Zahlen (außer null, dort liegt ein Pol vor) definiert.
  • Lässt man x über alle Grenzen wachsen (sowohl negativ als auch positiv), wird der Funktionswert 1/x immer kleiner, strebt also gegen null.
  • Der Randwert dieser Funktion ist also für wachsende x-Werte null; in diesem Fall wird die x-Achse zur Asymptote, der sich die Funktion immer mehr annähert.
  • Die Funktion f(x) = ex ist als Exponentialfunktion zur Basis "e", der Eulerzahl, bekannt. Diese Funktion ist über alle reellen Zahlen definiert.
  • Lässt man bei der Exponentialfunktion x über alle positiven Grenzen wachsen, wachsen auch die y-Werte über alle Grenzen. (Man könnte hier sagen, dass der Randwert für positive x-Werte "Unendlich" ist. Dies ist mathematisch jedoch nicht ganz korrekt formuliert)
  • Wächst dagegen x über alle negativen Grenzen, streben die y-Werte gegen null, zugleich Randwert der Funktion. Im negativen Definitionsbereich ist für diese Funktion die x-Achse wieder Asymptote.

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