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ln x ableiten - die Matheexpertin erklärt, wie es gemacht wird

ln x ableiten - die Matheexpertin erklärt, wie es gemacht wird3:21
Video von Galina Schlundt3:21

Den natürlichen Logarithmus ln x abzuleiten, das ist nicht ganz einfach. Zum Ableiten benötigen Sie nämlich die Umkehrfunktion sowie die Formel für deren Ableitung.

Um es gleich vorwegzunehmen: Für das Ableiten der natürlichen Logarithmusfunktion f(x) = ln x benötigen Sie die Regel, wie man Umkehrfunktionen ableitet. Bevor Sie jedoch tiefer einsteigen, sei die Lösung schon einmal gesagt: f'(x) = 1/x.

Die Umkehrfunktion ableiten - so wird's gemacht

  • Zu vielen Funktionen f(x) gibt es eine sog. Umkehrfunktion, meist f-1(x) genannt, die man erhält, wenn man Defintions- und Wertebereich vertauscht.
  • So ist beispielsweise zu f(x) = x² die Wurzelfunktion f-1(x) = Wurzel(x) die Umkehrfunktion. Wurde in der ursprünglichen Funktion jeder Zahl das Quadrat zugeordnet, so läuft es hier umgekehrt: Man ordnet jeder Zahl ihre Wurzel zu.
  • Etwas verwirrend erscheint hier oft, dass die Funktionszuordnung zwar umgekehrt läuft, jedoch wieder x und y in der ursprünglichen Art benutzt werden.
  • Viele (kompliziertere) Funktionen lassen sich schnell und einfach ableiten, wenn man bereits die Ableitung der Umkehrfunktion kennt, so auch der natürliche Logarithmus ln x.
  • Die Formel für die Ableitung lautet nämlich: f'(x) = 1/(f-1)'(f(x).
  • Diese Formel mag zunächst ob ihres komplizierten Aufbaus erschrecken. Allerdings lässt sie sich leicht in Worte fassen, die dann auch die Vorgehensweise zeigen: Die Ableitung einer Funktion f(x) ist gleich dem Kehrwert der Ableitung ihrer Umkehrfunktion, und zwar an der Stelle f(x), dem ursprünglichen y-Wert also.

ln x ableiten - so wird's gemacht

  • Die natürliche Logarithmusfunktion f(x) = ln x hat als Umkehrfunktion die natürliche Exponentialfunktion f-1(x) = ex mit der Eulerschen Zahl e als Basis. 
  • Zeichnet man den Graphen der Logarithmusfunktion ln x, so ist diese nur für x-Werte größer als Null definiert und steigt (leicht abflachend) an. Dieses Verhalten der Funktion zeigt schon: Die Ableitung muss stets positiv sein, ein Kennzeichen steigender Funktionen. Zudem hat die Funktion ln x keinen Extremwert, sodass deren Ableitung keine Nullstelle hat.
  • Für die Ableitung setzen Sie zunächst f(x) = ln x und f-1(x) = ex sowie (f-1)'(x) = ex, da die Ableitung der Exponentialfunktion mit dieser identisch ist. Sie setzen nun (f-1)'(f(x)) = elnx , also die ursprüngliche Logarithmusfunktion für jedes x in der Ableitung.
  • Nach der Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion erhalten Sie dann: f'(x) = 1/(f-1)'(f(x) = 1/elnx = 1/x (e hoch und lnx heben sich bekanntermaßen gegenseitig auf!).
  • Wie oben bereits angegeben, ist die Ableitung der Funktion f(x) = ln x die Funktion f'(x) = 1/x, die für Werte x größer als Null stets positiv ist und keine Nullstelle aufweist.
helpster.de Autor:in
Dr. Hannelore Dittmar-Ilgen
Dr. Hannelore Dittmar-IlgenHannelore hat Mathematik, Physik sowie Chemie und Pädagogik studiert und erklärt diese schwierigen Themenfelder schon immer gerne ihren Mitmenschen. Auch über ihre Hobbys schreibt sie leidenschaftlich gerne, das können unsere Leser in den Kategorien Essen & Trinken sowie Handarbeit entdecken. Sie ist eine unserer fleißigsten Autorinnen der ersten Stunde von HELPSTER.