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ln x ableiten - die Matheexpertin erklärt, wie es gemacht wird

ln x ableiten - die Matheexpertin erklärt, wie es gemacht wird3:21
Video von Galina Schlundt3:21

Den natürlichen Logarithmus ln x abzuleiten, das ist nicht ganz einfach. Zum Ableiten benötigen Sie nämlich die Umkehrfunktion sowie die Formel für deren Ableitung.

Was Sie benötigen:

  • Grundwissen "Analysis"

Um es gleich vorwegzunehmen: Für das Ableiten der natürlichen Logarithmusfunktion f(x) = ln x benötigen Sie die Regel, wie man Umkehrfunktionen ableitet. Bevor Sie jedoch tiefer einsteigen, sei die Lösung schon einmal gesagt: f'(x) = 1/x.

Die Umkehrfunktion ableiten - so wird's gemacht

  • Zu vielen Funktionen f(x) gibt es eine sog. Umkehrfunktion, meist f-1(x) genannt, die man erhält, wenn man Defintions- und Wertebereich vertauscht.
  • So ist beispielsweise zu f(x) = x² die Wurzelfunktion f-1(x) = Wurzel(x) die Umkehrfunktion. Wurde in der ursprünglichen Funktion jeder Zahl das Quadrat zugeordnet, so läuft es hier umgekehrt: Man ordnet jeder Zahl ihre Wurzel zu.
  • Etwas verwirrend erscheint hier oft, dass die Funktionszuordnung zwar umgekehrt läuft, jedoch wieder x und y in der ursprünglichen Art benutzt werden.
  • Viele (kompliziertere) Funktionen lassen sich schnell und einfach ableiten, wenn man bereits die Ableitung der Umkehrfunktion kennt, so auch der natürliche Logarithmus ln x.
  • Die Formel für die Ableitung lautet nämlich: f'(x) = 1/(f-1)'(f(x).
  • Diese Formel mag zunächst ob ihres komplizierten Aufbaus erschrecken. Allerdings lässt sie sich leicht in Worte fassen, die dann auch die Vorgehensweise zeigen: Die Ableitung einer Funktion f(x) ist gleich dem Kehrwert der Ableitung ihrer Umkehrfunktion, und zwar an der Stelle f(x), dem ursprünglichen y-Wert also.

ln x ableiten - so wird's gemacht

  • Die natürliche Logarithmusfunktion f(x) = ln x hat als Umkehrfunktion die natürliche Exponentialfunktion f-1(x) = ex mit der Eulerschen Zahl e als Basis. 
  • Zeichnet man den Graphen der Logarithmusfunktion ln x, so ist diese nur für x-Werte größer als Null definiert und steigt (leicht abflachend) an. Dieses Verhalten der Funktion zeigt schon: Die Ableitung muss stets positiv sein, ein Kennzeichen steigender Funktionen. Zudem hat die Funktion ln x keinen Extremwert, sodass deren Ableitung keine Nullstelle hat.
  • Für die Ableitung setzen Sie zunächst f(x) = ln x und f-1(x) = ex sowie (f-1)'(x) = ex, da die Ableitung der Exponentialfunktion mit dieser identisch ist. Sie setzen nun (f-1)'(f(x)) = elnx , also die ursprüngliche Logarithmusfunktion für jedes x in der Ableitung.
  • Nach der Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion erhalten Sie dann: f'(x) = 1/(f-1)'(f(x) = 1/elnx = 1/x (e hoch und lnx heben sich bekanntermaßen gegenseitig auf!).
  • Wie oben bereits angegeben, ist die Ableitung der Funktion f(x) = ln x die Funktion f'(x) = 1/x, die für Werte x größer als Null stets positiv ist und keine Nullstelle aufweist.

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