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Wie leitet man Brüche ab? - So geht's

Wie leitet man Brüche ab? - So geht's2:37
Video von Samuel Klemke2:37

Wie leitet man Brüche ab? Diese Formulierung ist natürlich "schülerspezifisch" verkürzt. Gemeint sind gebrochen rationale Funktionen, die abgeleitet werden sollen.

1/xn - so werden einfache Brüche abgeleitet

Die einfachste Form einer Funktion mit Brüchen ist f(x) = 1/xn, wobei n eine natürliche Zahl ist. Ein Beispiel ist die Funktion f(x) = 1/x², vielen als Hyperbel bekannt.

  1. Funktionen dieser Art leitet man am einfachsten ab, indem man zuerst die funktionalen Brüche in eine negative Hochzahl umwandelt: f(x) = 1/xn = x-n
  2. Bei der Ableitung folgen Sie nun der ganz normalen Ableitungsregel, die Sie auch für Funktionen der Art f(x) = xn kennen. Hier gilt nämlich (evtl. in der Formelsammlung noch mal kurz nachlesen): f'(x) = n * xn-1
  3. Wenden sie diese Ableitungsregel nun auf f(x) = x-n an. Sie erhalten für die Ableitung f'(x) = -n * x-n-1
  4. Die etwas unhandliche negative Potenz wandeln Sie dann wieder in Brüche um: f'(x) = -n/xn+1
  5. Als Beispiel bilden Sie die Ableitung von f(x) = 1/x2 = x-2 und erhalten nach dieser Regel: f'(x) = -2/x3

Komplizierte Funktionsbrüche ableiten - so gehen Sie vor

Bild 2

Gemeint sind in diesem Fall kompliziertere gebrochen rationale Funktionen, bei denen sowohl im Zähler als auch im Nenner Terme mit der Variablen "x" vorkommen, also in der Art f(x) = u/v, wobei u und v selbst Polynome sind. Ein Beispiel ist f(x) = (x² - 1)/x³.

  • Auch für solche Funktionen gibt es eine Regel zum Berechnen der Ableitung, nämlich die Quotientenregel (ebenfalls in Formelsammlung nachschauen).
  • Sie lautet (in vereinfachter, schülergerechter Form): f'(x) = (u' * v - v' * u)/v². Dabei sind u und v wieder Zähler bzw. Nenner der Funktion f(x), die Sie ableiten wollen. u' und v' sind jeweils die Ableitungen davon.
  • Um bei dieser etwas unübersichtlichen Formel keine Fehler zu machen, sollten Sie sich vorab eine Art Tabelle aufstellen, in der Sie die einzelnen Funktionsbestandteile u und v sowie deren Ableitungen u' und v' aufschreiben.
  • Erst dann setzen Sie aus dieser Tabelle heraus die einzelnen Teile in die Quotientenregel ein.

Brüche ableiten - ein durchgerechnetes Beispiel

Als Beispiel nehmen Sie wieder die Funktion f(x) = (x² - 1)/x³, die abgeleitet werden soll.

  1. In Ihrer Tabelle sollten die Bestandteile stehen (Ableitungen bilden. u = x² - 1 sowie u' = 2x sowie v = x³ und v' = 3 x² und v² = x6
  2. Diese Teile setzen Sie jetzt in die Formel für die Ableitung ein und erhalten: f'(x) = [2x * x³ - 3x² * (x²-1)]/x6
  3. Die komplizierte eckige Klammer sollten Sie noch ausrechnen. Es ergibt sich: f'(x) = (2x³ - 3x4 + 3x²)/x6
  4. Geschickte und erfahrene Rechner erkennen jetzt, dass jeder Termteil noch durch x² gekürzt werden kann, was die Ableitung (etwas) vereinfacht. Sie erhalten f'(x) = (2x - 3x² + 3)/x4
  5. Gut sieht es aus, wenn Sie dann den Zähler des Bruches noch nach Potenzen sortieren: f'(x) = (-3x² + 2x +3)/x4.
Bild 5

Leider werden gebrochen rationale Funktionen beim Ableiten meist komplizierter!

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