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Ableitung von Wurzel x mit Kettenregel - so funktioniert sie

Ableitung von Wurzel x mit Kettenregel - so funktioniert sie3:09
Video von Galina Schlundt3:09

Die Ableitung einer Wurzel mit x ist schon schlimm genug für die meisten Schüler. Wenn dazu noch die Kettenregel angewendet werden muss, sind die meisten überfordert. Aber auch das ist kein Problem.

So gehen Ableitungen von Polynomen

Bevor Sie sich mit der Ableitung der Wurzel x beschäftigen, sehen sie sich die Ableitung eines normalen Polynoms an:

  • Eine Funktion der Form f (x) = a1 xn + a2 xn-1 + ...+ anx0 wird immer nach der Regel abgeleitet, dass der jeweilige Exponent zusammen mit dem Faktor, der schon vor der jeweiligen Variablen steht, mit der Variablen, deren Exponent um 1 vermindert wird, multipliziert wird. Sicher haben die wenigsten diesen Satz verstanden.
  • Sie müssen also bei der Ableitung des ersten Summanden n mal a1 mit xn-1multiplizieren und dann (n-1) mit a2 und xn-2 bis Sie zu 0 mal an x-1gelangen, wobei der letzte Ausdruck wegfällt, weil er Null ergibt.
  • Konkret heißt das: Wenn f(x) = 5 x6- 2 x3 + 7 ist, ist die Ableitung f'(X)= 6.5.x6-1-2.3.x3-1+0.7.x0-1. Beachten Sie: 7 = 7 x0 und es müssen nicht alle möglichen Exponenten vorkommen. x5, x4,x2 und x kommen in der Funktion nicht vor. Wenn Sie das Beispiel ausrechnen, ergibt das: f'(x) = 30x5-6x2.
  • Ferner müssen Sie sich daran erinnern, dass eine Wurzel nichts anderes als eine gebrochene Hochzahl ist. Wenn f(x) = Wurzel x ist, bedeutet das, dass f(x) = x1/2 ist. Die Ableitung ist demnach f'(X)= 1/2 x1/2-1= 1/2 x-1/2. Wobei Sie das, da es sich um einen negativen Exponenten handelt, auch als Bruch schreiben können, der im Zähler eine 1 hat und im Nenner 2 mal x1/2 bzw. Wurzel x.

Somit wissen Sie nun auch, wie man eine Wurzel ableitet. Das geht wie bei anderen Polynomen, nur dass Sie Brüche als Exponenten verwenden. Dritte Wurzel x ist dann x1/3 und 5. Wurzel x3 ist x3/5.

Die Kettenregel zunächst ohne Wurzel x

Bild 2

Wenn Sie statt eines Polynoms einen Rechenausdruck haben, müssen Sie die Kettenregel anwenden. Dabei gehen Sie wie folgt vor:

  1. f(x) = (x3-2x)5: Halten Sie sich vor Augen, dass Sie eine Funktion f(a) = a5, einfach zu f'(a) = 5 a4 ableiten können.
  2. Wenn Sie also x3-2x als a betrachten, können Sie daraus 5(x3-2x) machen. Das ist aber nicht die Ableitung nach x, sondern die nach a. Wenn Sie die Funktion nach x ableiten, müssen Sie noch die innere Ableitung bilden und diese wäre die Ableitung von x3-2x also 3 x2-2.
  3. Nach der Kettenregel müssen sie f(x) = (x3-2x)5 zunächst nach der Klammer (im Beispiel als a betrachtet) und dann nach x ableiten. Sie erhalten f'(x) = 5(x3-2x)4(3x2-2). Sie multiplizieren also die äußere Ableitung mit der inneren.

Nun geht es weiter zur Ableitung von Wurzeln

Es gibt zwei Möglichkeiten wie Wurzeln in dem Zusammenhang auftreten können, : f(x) ist Wurzel (x3-2x)  oder f(x) ist (Wurzel x + 3)3. Also ist der Term entweder unter einer Wurzel oder im Term steht eine Wurzel, beides ist möglich.

  1. Schreiben Sie die Funktionen konsequent nur mit Exponenten, also wird Wurzel vom Term (Wurzel (x3-2x) zu f(x) = (x3-2x)1/2 (bzw. im anderen Fall f(x)=(x1/2+3)3)
  2. Bilden Sie jeweils die äußere Ableitung 1/2(x3-2x)-1/2 (bzw. 3(x1/2+3)2 und die innere Ableitung: (3x2-2) (bzw. 1/2 x-1/2).
  3. Multiplizieren Sie die äußere und die innere Ableitung f(x) = (x3-2x)1/2=====> f'(x) = 1/2 (x3-2x)-1/2(3x2-2) bzw. f(x)=(x1/2+3)3 =====> f'(x) = 3(x1/2+3)(1/2 x-1/2) Diese Funktionen können Sie dann wieder mit Wurzeln schreiben.
Bild 5

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