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Sinus aufleiten - so bestimmten Sie die Stammfunktion

Sinus aufleiten - so bestimmten Sie die Stammfunktion2:45
Video von Benjamin Elting2:45

Das Ableiten und Aufleiten von Funktionen scheint auf den ersten Blick kompliziert zu sein. Wenn Sie allerdings einfache Regeln beachten, können Sie schnell und einfach die Stammfunktion von einfachen Funktionen oder trigonometrischen Funktionen wie Sinus und Cosinus bilden. Wie dies funktioniert, erfahren Sie hier.

Aufleiten einfacher Funktionen

Wenn Sie die Stammfunktion einer Funktion bilden wollen, können Sie auf gängige Regeln zurückgreifen.

  • Für ganzrationale Funktionen f(x) brauchen Sie zunächst lediglich den Exponenten von x um einen Wert erhöhen. Wenn Sie zum Beispiel die Grundfunktion f(x) = xhaben, müssen Sie den Exponenten "3" um eins erhöhen, sodass die Stammfunktion zunächst F(x) = xist.
  • Zudem müssen Sie den neuen Exponenten noch in den Nenner eines Bruchs schreiben, bei dem der Faktor, der vor x steht, im Zähler ist. Für die oben angegebene Grundunktion wäre der Faktor "1" und der neue Exponent "4", weshalb die vollständige Stammfunktion F(x) = 1/4 xist. Sollte der Faktor bspw. "3" sein, also die Grundfunktion f(x) = 3xlauten, wäre die Stammfunktion F(x) = 3/4 x4.
  • Zudem werden Stammfunktionen grundsätzlich um einen Summanden C erweitert. Dies hat den Sinn, dass die Zahl ohne x beim Ableiten entfällt und es deshalb mehrere Stammfunktionen für eine Grundfunktion gibt. So wären zum Beispiel F(x) = 1/4 x+1 oder F(x) = 1/4 x+ 2 beides Stammfunktionen der Funktion f(x) = x3
  • Die vollständige der Stammfunktion wäre damit F(x) = 1/4 x+ C.

Stammfunktion von Sinus- und Cosinus-Funktionen

Auch beim Aufleiten von trigonometrischen Funktionen gibt es einfache Regeln, mit der Sie schnell und einfach die Stammfunktion bilden können.

  • Dabei werden die Ableitungsregeln von Sinus und Cosinus einfach umgekehrt.
  • Das heißt, aus einem positiven Sinus wird ein negativer Cosinus und aus einem positiven Cosinus wird ein positiver Sinus.
  • Demnach wäre von der Sinus-Grundfunktion f(x) = sin x die Stammfunktion F(x) = -cos x +C bzw. bei Cosinus-Grundfunktion f(x) cos x die Stammfunktion F(x) = sin x +C.
  • Sollten Sie eine trigonometrische Funktion mit einer zusätzlichen Funktion haben, also zum Beispiel f(x) = x3 + sin(x), dann können Sie beim Aufleiten beide Vorgehensweisen anwenden.
  • Zunächst berechnen Sie die Stammfunktion der ersten Teilfunktion (x3) und der zweiten Teilfunktion (sin(x)). Danach fügen Sie beide Stammfunktionen zusammen.
  • Die erste Stammfunktion wäre 1/4 x4  und die zweite -cos(x), so dass die vollständige Stammfunktion F(x) = 1/4 x4 - cos(x) + C wäre.

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