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Die Ableitung 1 durch x berechnen - so wird's gemacht

Die Ableitung 1 durch x berechnen - so wird's gemacht1:17
Video von Benjamin Elting1:17

Ableitungen gehören zu jeder Kurvendiskussion dazu. Einfache Ableitungen lassen sich in Windeseile erledigen, während schwerere Ableitungen teilweise zum Haare raufen sind. Im folgenden Artikel geht es ganz speziell um die schwierigere Ableitung der Funktion 1 durch x.

Wenn Sie die Funktion "1 durch x" ableiten wollen, dann müssen Sie entweder die Funktion umformen, oder der Rechenregel mächtig sein.

Die Ableitung von 1 durch x

  1. Um die richtige Ableitung bilden zu können, müssen Sie die Funktion zunächst umformen.
  2. Aus einer Funktion der Form 1 durch x (1/x) lässt sich mit Hilfe der Potenzgesetze eine Funktion der Form x-1 machen.
  3. Die Ableitung der Funktion x-1 ist wesentlich unkomplizierter. Es gilt die allgemeine Ableituregel für Potenzfunktionen: xn --> n * xn-1.  Diese Regel können Sie auch auf rationale Exponenten anwenden.
  4. Laut dieser Regel ziehen Sie den Exponenten als Faktor vor das x. Danach wird der Exponent um 1 verringert.
  5. Für die konkrete Funktion sähe dies folgendermaßen aus: x-1 --> -1 * x-2.
  6. Da die 1 als Faktor vernachlässigt werden kann, kommen Sie zu dem Zwischenergebnis - x-2.
  7. Wenn Sie den Umformungsschritt, den Sie zu Anfang vollführt haben, wieder rückgängig machen, dann erhalten Sie folgendes Endergebnis für die Ableitung: - 1 durch x2 (-1/x²).
  8. Wollen Sie nun eine allgemeine Regel für Funktionen mit negativen Exponenten festlegen, dann müssen Sie zuerst eine weitere dieser Art bestimmen.
  9. Als Beispiel die Funktion 1 durch x2. Wiederholen Sie die obigen Schritte für diese Funktion, dann erhalten Sie das Zwischenergebnis - 2 * x-3.
  10. Wenn Sie für diese Funktion nun den Umformungsschritt anwenden, dann kommen Sie zu dieser Ableitung: - 2 / x3.
  11. Anhand dieser Ableitung können Sie ein Schema erkennen. Der Zähler wird durch den Exponenten von x ersetzt. Danach wird der Exponent von x um 1 erhöht. Schließlich wird ein " - " vor die Funktion gesetzt.
  12. Möchten Sie dies in einer mathematischen Art und Weise formulieren, dann sähe das so aus: 1 durch xn --> (- n) durch xn+1.
  13. Wenn Sie höhere Ableitungen bilden möchten, dann wenden Sie die gleichen Schritte erneut an.
  14. Wollen Sie die erste Ableitung ableiten, dann müssen Sie diese Rechenscfhritte ausführen: - 1 / x2 = - x-2.
  15. Nachdem Sie den Umformungsschritt wieder angewendet haben, müssen Sie nun ableiten: - (- 2) * x-3 = 2 * x-3.
  16. Wenn Sie nun die Umformung rückgängig machen, erhalten Sie als Endergebnis für die zweite Ableitung: 2 / x3.

Eine allgemeine Regel

  1. Wollen Sie nun eine allgemeine Regel für Funktionen mit negativen Exponenten festlegen, dann müssen Sie zuerst eine weitere dieser Art bestimmen.
  2. Als Beispiel die Funktion 1 durch x2. Wiederholen Sie die obigen Schritte für diese Funktion, dann erhalten Sie das Zwischenergebnis - 2 * x-3.
  3. Wenn Sie für diese Funktion nun den Umformungsschritt anwenden, dann kommen Sie zu dieser Ableitung: - 2 / x3.
  4. Anhand dieser Ableitung können Sie ein Schema erkennen. Der Zähler wird durch den Exponenten von x ersetzt. Danach wird der Exponent von x um 1 erhöht. Schließlich wird ein " - " vor die Funktion gesetzt.
  5. Möchten Sie dies in einer mathematischen Art und Weise formulieren, dann sähe das so aus: 1 durch xn --> (- n) durch xn+1.

Höhere Ableitungen bilden

  1. Wenn Sie höhere Ableitungen bilden möchten, dann wenden Sie die gleichen Schritte erneut an.
  2. Wollen Sie die erste Ableitung ableiten, dann müssen Sie diese Rechenscfhritte ausführen: - 1 / x2 = - x-2.
  3. Nachdem Sie den Umformungsschritt wieder angewendet haben, müssen Sie nun ableiten: - (- 2) * x-3 = 2 * x-3.
  4. Wenn Sie nun die Umformung rückgängig machen, erhalten Sie als Endergebnis für die zweite Ableitung: 2 / x3.

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