Wenn Sie die Funktion "1 durch x" ableiten wollen, dann müssen Sie entweder die Funktion umformen, oder der Rechenregel mächtig sein.
Die Ableitung von 1 durch x
- Um die richtige Ableitung bilden zu können, müssen Sie die Funktion zunächst umformen.
- Aus einer Funktion der Form 1 durch x (1/x) lässt sich mit Hilfe der Potenzgesetze eine Funktion der Form x-1 machen.
- Die Ableitung der Funktion x-1 ist wesentlich unkomplizierter. Es gilt die allgemeine Ableituregel für Potenzfunktionen: xn --> n * xn-1. Diese Regel können Sie auch auf rationale Exponenten anwenden.
- Laut dieser Regel ziehen Sie den Exponenten als Faktor vor das x. Danach wird der Exponent um 1 verringert.
- Für die konkrete Funktion sähe dies folgendermaßen aus: x-1 --> -1 * x-2.
- Da die 1 als Faktor vernachlässigt werden kann, kommen Sie zu dem Zwischenergebnis - x-2.
- Wenn Sie den Umformungsschritt, den Sie zu Anfang vollführt haben, wieder rückgängig machen, dann erhalten Sie folgendes Endergebnis für die Ableitung: - 1 durch x2 (-1/x²).
- Wollen Sie nun eine allgemeine Regel für Funktionen mit negativen Exponenten festlegen, dann müssen Sie zuerst eine weitere dieser Art bestimmen.
- Als Beispiel die Funktion 1 durch x2. Wiederholen Sie die obigen Schritte für diese Funktion, dann erhalten Sie das Zwischenergebnis - 2 * x-3.
- Wenn Sie für diese Funktion nun den Umformungsschritt anwenden, dann kommen Sie zu dieser Ableitung: - 2 / x3.
- Anhand dieser Ableitung können Sie ein Schema erkennen. Der Zähler wird durch den Exponenten von x ersetzt. Danach wird der Exponent von x um 1 erhöht. Schließlich wird ein " - " vor die Funktion gesetzt.
- Möchten Sie dies in einer mathematischen Art und Weise formulieren, dann sähe das so aus: 1 durch xn --> (- n) durch xn+1.
- Wenn Sie höhere Ableitungen bilden möchten, dann wenden Sie die gleichen Schritte erneut an.
- Wollen Sie die erste Ableitung ableiten, dann müssen Sie diese Rechenscfhritte ausführen: - 1 / x2 = - x-2.
- Nachdem Sie den Umformungsschritt wieder angewendet haben, müssen Sie nun ableiten: - (- 2) * x-3 = 2 * x-3.
- Wenn Sie nun die Umformung rückgängig machen, erhalten Sie als Endergebnis für die zweite Ableitung: 2 / x3.
Wenn Sie die Funktion "2 durch x" ableiten wollen, können Sie dies mit ein bisschen Geschick und …
Eine allgemeine Regel
- Wollen Sie nun eine allgemeine Regel für Funktionen mit negativen Exponenten festlegen, dann müssen Sie zuerst eine weitere dieser Art bestimmen.
- Als Beispiel die Funktion 1 durch x2. Wiederholen Sie die obigen Schritte für diese Funktion, dann erhalten Sie das Zwischenergebnis - 2 * x-3.
- Wenn Sie für diese Funktion nun den Umformungsschritt anwenden, dann kommen Sie zu dieser Ableitung: - 2 / x3.
- Anhand dieser Ableitung können Sie ein Schema erkennen. Der Zähler wird durch den Exponenten von x ersetzt. Danach wird der Exponent von x um 1 erhöht. Schließlich wird ein " - " vor die Funktion gesetzt.
- Möchten Sie dies in einer mathematischen Art und Weise formulieren, dann sähe das so aus: 1 durch xn --> (- n) durch xn+1.
Höhere Ableitungen bilden
- Wenn Sie höhere Ableitungen bilden möchten, dann wenden Sie die gleichen Schritte erneut an.
- Wollen Sie die erste Ableitung ableiten, dann müssen Sie diese Rechenscfhritte ausführen: - 1 / x2 = - x-2.
- Nachdem Sie den Umformungsschritt wieder angewendet haben, müssen Sie nun ableiten: - (- 2) * x-3 = 2 * x-3.
- Wenn Sie nun die Umformung rückgängig machen, erhalten Sie als Endergebnis für die zweite Ableitung: 2 / x3.
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