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Stammfunktion bilden - so gehen Sie vor

Stammfunktionen müssen Sie für die Berechnung von Integralen bilden. Dabei gilt, dass die Ableitung der Stammfunktion der Ausgangsfunktion entspricht. Also F'(x)= f(x). So gelingt es bei einfachen Polynomfunktionen.

Integrale werden mit der Stammfunktion berechnet.
Integrale werden mit der Stammfunktion berechnet.

Was ist die Stammfunktion?

  • Die Stammfunktion wird allgemein als F(x) angegeben, wenn die Funktion mit f(x) benannt ist. Dabei ist die Ableitung der Stammfunktion die Ausgangsfunktion. Also ist F'(x) = f(x).
  • Sollte die Funktion nicht mit f, sondern mit einem anderen kleinen Buchstaben benannt sein, zum Beispiel mit u(x) oder v(x), so wird die Stammfunktion jeweils mit dem entsprechenden Großbuchstaben benannt. Beispielsweise wäre U'(x) = u(x) und V'(x) = v(x).
  • Die Stammfunktion bilden ist also die umgekehrte Aufgabe vom Ableiten einer Funktion. Um die Stammfunktion richtig bilden zu können, sollten Sie idealerweise zuerst das Ableiten einer Funktion beherrschen.
  • Um die Fläche zwischen einer Kurve und der x-Achse in einem bestimmten Bereich zu berechnen, muss die Stammfunktion bestimmt werden.

So bilden Sie F(x)

  • Bei einfachen Potenzfunktionen gilt allgemein f(x) = xz. Die Ableitung bilden Sie so: F(x) = 1 : (z + 1) × xz + 1. Hierbei darf z lediglich nicht den Wert -1 annehmen.
  • Bei f(x) = 1 : x = x-1 lautet die Stammfunktion F(x) = ln(x).
  • Sind U und V Stammfunktionen von u bzw. v, dann gilt, wenn f(x) = u(x) + v(x) ist, ist F(x) = U(x) + V(x). 
  • Wenn vor der einfachen Potenzfunktion ein Faktor c steht, die Funktion also f(x) = c × u(x) lautet, wird zum Bilden der Stammfunktion ebenfalls der Faktor vorgestellt. Also ist F(x) = c × U(x).
  • Sind u, r und s miteinander verkettet, also f(x) = u × (rx + s), dann wird die Stammfunktion nach dieser Formel gebildet: F(x) = 1 : r × U(rx + s).
  • Haben Sie eine natürliche Exponentialfunktion f mit c und d als natürlichen Zahlen, also f(x) = c × ex + d, so ist die Funktion gleich der Stammfunktion. Es ist F(x) = c × ex + d.
  • Existiert bei der Exponentialfunktion allerdings ein Faktor m vor dem x, so wird die Funktion f(x) = c × em × x + d abgeleitet als F(x) = 1 : m × c × em × x + d .
  • Die Stammfunktion von f mit f(x) = u'(x) : u(x) bilden Sie mit F(x) = ln(u(x)) .
  • Mit diesen Formeln können Sie die Stammfunktionen aller normalen Funktionen bilden. Gegebenenfalls müssen Sie die verschiedenen Regeln lediglich kombinieren.
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