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Trigonometrische Funktionen - die Nullstellen berechnen Sie so

Trigonometrische Funktionen - die Nullstellen berechnen Sie so2:38
Video von Galina Schlundt2:38

In der Schule lernen Sie unter anderem die trigonometrischen Funktionen kennen. In der Oberstufe müssen Sie diese sogar näher untersuchen und die Nullstellen berechnen.

Was Sie benötigen:

  • Trigonometrische Funktion
  • Wertetabelle
  • Graph
  • Periode
  • Bedingung für Nullstellen

Trigonometrische Funktionen lernen

Wie Sie wissen, gibt es die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens. Deren Schaubilder sollten Sie schon grob im Kopf haben. Erstellen Sie nun eine Wertetabelle und skizzieren Sie die drei Funktionen im Koordinatensystem.

  • Die trigonometrischen Funktionen sind periodische Funktionen. Das bedeutet, die einfache Sinusfunktion hat nicht nur eine Nullstelle, sondern unendlich viele Nullstellen. Diese befinden sich immer in gleichen Abständen zueinander.
  • Das Gleiche gilt für die Kosinus- und die Tangensfunktion. Auch sie haben auf dem Definitionsbereich der reellen Zahlen unendlich viele Nullstellen.

Die Nullstellen bestimmen

  • Für die Bestimmung der Nullstellen müssen Sie zunächst die Perioden der trigonometrischen Funktionen kennen. Die Sinus- und die Kosinusfunktion haben die Periode 2π, die Tangensfunktion die Periode π.
  • Die Bedingung für eine Nullstelle ist f(x) = 0. In Ihrer Wertetabelle können Sie ablesen, dass sin(x) = 0 für x = 0 erfüllt ist. Aufgrund der Periode können Sie in beliebigen 2π-Schritten nach rechts oder links gehen und finden eine weitere Nullstelle.
  • Auch für x = π hat der Sinus eine Nullstelle. Sie finden ebenfalls weitere Nullstellen, wenn Sie in 2π-Schritte nach rechts oder links gehen. Die Nullstellen können Sie also durch Nk(kπ|0) angeben, wobei k aus den ganzen Zahlen ist.
  • Die Nullstellen des Tangens können Sie nun einfach berechnen. Es gilt der Zusammenhang tan(x) = sin(x) / cos(x) und zusätzlich ist sin(x) = cos(x) = 0 ausgeschlossen, also hat der Tangens die gleichen Nullstellen wie der Sinus.
  • Der Kosinus hat seine Nullstellen bei π/2, 3/2π, 5/2π... Die Nullstellen lassen sich daher in der Form Nk(π/2+kπ|0) angeben, wobei k wiederum aus den ganzen Zahlen ist. Alternativ können Sie argumentieren, dass der Kosinus der um π/2 nach links verschobenen Sinusfunktion entspricht.

Sie sehen, die Nullstellen sind leicht bestimmt. Mit diesem Hintergrundwissen können Sie sich nun an zusammengesetzte Funktionen wagen.

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