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Parabelgleichung ablesen - so folgern Sie vom Graphen auf die Gleichung

Parabelgleichung ablesen - so folgern Sie vom Graphen auf die Gleichung2:45
Video von Galina Schlundt2:45

Aufgaben, bei denen Sie die Parabelgleichung aus einem Graphen ablesen sollen, sind nicht so schwer, wie es im ersten Moment oft aussieht. Sie müssen nur wenige Rechenschritte durchführen.

Ablesen der Werte für die Gleichung

Wenn es darum geht, die Parabelgleichung aus einem Graphen abzulesen, sollten Sie immer nach folgendem Schema vorgehen:

  1. Lesen Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts aus dem Funktionsgraphen ab. Zum Beispiel S(-1/3). Zu Erinnerung: Fällen Sie das Lot vom Punkt, dessen Koordinaten Sie ablesen müssen, auf die x- und die y-Achse. So können Sie die Werte an den Achsen ablesen.
  2. Lesen Sie nun noch die Koordinaten eines zweiten Punkts P ab. Dieser ist im Beispiel P(0/2).

Es ist meist zweckmäßig, den Punkt bei x=0 abzulesen, weil das die Rechnung vereinfacht. Sie können aber auch die Koordinaten eines anderen Punkts ablesen, der nicht der Scheitelpunkt ist.

So bestimmen Sie die Parabelgleichung

  1. Verwenden Sie für die Parabelgleichung die Scheitelpunktform dieser Funktion, denn mit dieser geht es leichter. Die Scheitelform ist f(x) = a (x-xs)2 + ys. Wobei xs und ys die Koordinaten des Scheitelpunkts sind.
  2. Nun brauchen Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts und setzen diese in die Gleichung ein. Angenommen, der Scheitelpunkt liegt bei S(-1/3), dann haben Sie die Parabelgleichung f(x) = a(x+1)2 + 3.
  3. Nun müssen Sie nur noch a bestimmen, indem Sie die Koordinaten des Punktes P einsetzen. f(x) = y = a(x+1)2 + 3, also gilt 2 =  a(0+1)2 + 3 => 2 = a + 3 | -3 => 2-3 = a + 3 - 3 => - 1 = a . Die Parabelgleichung lautet in der Scheitelform also f(x) = - (x+1)2 + 3.
  4. Wenn die Normalform verfangt ist, müssen Sie die Gleichung nun nur noch ausrechnen: f(x) = - (x+1)2 + 3 = - (x2 + 2x + 12) + 3 = - x2 - 2x - 1 + 3. Demnach ist die Normalform also f(x) = - x2 -2x + 2.

Bestimmung von Funktionen höherer Polynome

Sollte es mal um das Ablesen von Parabelgleichungen gehen, die eine höhere Ordnung haben, müssen Sie Folgendes beachten:

  1. Die Gleichungen haben immer den Aufbau f(a) = anxn + an-1xn-1+...+ a1x + a0. Lesen Sie immer den Schnittpunkt mit der y-Achse ab, denn da ist x=0 und Sie erhalten den Wert von a0.
  2. Wenn Sie den Scheitelpunkt ablesen können, bilden Sie die Ableitung:  f'(a) = nanxn-1 + (n-a)an-1xn-2+...+ a1. Setzen Sie den x- und y-Wert des Scheitelpunkts ein und Sie können direkt a1 bestimmen.
  3. Ist auch der Wendepunkt zu bestimmen, dann bilden Sie die zweite Ableitung f''(a) = nanxn-1 + (n-a)an-1xn-2+...+ a2 und setzen die Koordinaten des Wendepunktes dort ein. Sie erhalten a2.
  4. Um die übrigen Koordinaten zu bestimmen, brauchen Sie meist weitere Punkte, die Sie ablesen. Angenommen Sie hatten eine Parabel 5. Grades, die bekanntlich die Parabelgleichung f(a) = a5x5 + a4x4+.a3x3+ + a2x2+ a1x +  a0 hat. Durch die beschriebenen Schritte bekommen Sie leicht die Werte von a2, a1 und a0 heraus. Sie haben dann zum Beispiel:  f(a) = a5x5 + a4x4+.a3x3 -x2+ 5x +  6. Sie sehen, es sind nur noch a5, a4 und a3 zu bestimmen. Sie müssen also nur vom 3 Punkten die Koordinaten einsetzen, um diese Werte zu bestimmen, dabei können Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts und des Wendepunktes mit verwenden. Es sind rechnerisch nur 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten zu lösen, was kein Problem sein dürfte.

So leicht können Sie Parabelgleichungen ablesen. Das Verfahren klappt auch bei Textaufgaben, in denen Sie aus markanten Punkten Funktionsgleichungen erstellen sollen.

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