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Punktsteigungsformel einfach erklärt

Punktsteigungsformel einfach erklärt1:19
Video von Samuel Klemke1:19

Obwohl die Gleichungen von Geraden eher einfach sind, stolpern viele bei der Punktsteigungsformel von Geradengleichungen. Sie müssen sich nur einmal die Zusammenhänge vor Augen führen, dann wird es wieder leicht.

Vorüberlegungen zur Punktsteigungsformel

Denken Sie kurz darüber nach, was Ihnen bekannt sein muss, damit Sie eine Gerade zeichnen können, dann wird Ihnen die Punktsteigungsformel verständlicher:

  1. Wenn Sie zwei Punkte kennen, können Sie eine Gerade zeichnen, denn Sie wissen, es geht um die Gerade, die einfach durch diese beiden Punkte verläuft.
  2. Wenn Sie eine Geradengleichung der Form y = m x + b haben, können Sie ebenfalls die Gerade zeichnen, denn Sie kennen den y-Achsenabschnitt b und die Steigung der Geraden. Zur Erinnerung, es geht um das Steigungsdreieck. Gehen Sie von dem Achsenabschnitt b eine Einheit nach rechts und m-Einheiten nach oben, wenn m positiv ist bzw. nach unten wenn m negativ ist. Sollte m ein Bruch sein, gehen Sie so viele Einheiten, wie der Betrag des Nenners ist, nach rechts und die des Zählers nach oben bzw. nach unten.
  3. Denken Sie noch mal nach. Der y-Achsenabschnittt ein Punkt, der Punkt P(0/b). Also ist die übliche Geradengleichung auch eine Punktsteigungsformel. Folglich müssen Sie eine Gerade auch zeichnen können, wenn Sie einen beliebigen Punkt kennen und die Steigung.
Bild 1

Es muss also einen Zusammenhang geben zwischen der Geradengleichung y = m x + b und einem beliebigen Punkt (u/v), durch den die Gerade mit der Steigung m geht. Diesen Zusammenhang stellt die Punktsteigungsformel dar.

Bestimmung der Geradengleichung, wenn Punkt und Steigung bekannt sind

So können Sie die Punktsteigungsformel herleiten. Was Sie selber herleiten können, ist Ihnen auch verständlich:

  1. Basierend auf den bisherigen Überlegungen, muss also der Punkt P (u/v) die Geradengleichung y = m x + b erfüllen (Beispiel: P (2/3) m = 2).
  2. M aus der Gleichung y = m x + b ist bekannt - y ist in dem Fall v und x ist u (Beispiel: m = 2, x = 2, Y = 3).
  3. Setzen Sie diese Werte in die Gleichung ein. Sie erhalten v = m u + b (Beispiel: 3 = 2*2 + b).
  4. Sie müssen den Wert von b ermitteln. Im Beispiel ist das einfach - 3 = 4 + b. Sie müssen 4 subtrahieren. Das geht mit den allgemeinen Zahlen genauso, Sie müssen von der Gleichung v = m u + b | - m u subtrahieren. Sie bekommen v - m u = b.
  5. Im Beispiel können Sie nun b direkt ausrechnen, Sie bekommen b = - 1. Das müssen Sie nun in die Gleichung y = 2 x + b einsetzen. Sie bekommen y = 2x - 1. Genauso geht es auch bei den allgemeinen Zahlen. y = m x + b wird zu y = m x + v - m u, da b = v - m x ist.
  6. Schauen Sie sich den Ausdruck y = m x + v - m u genau an. Sie sehen, m kommt in Verbindung mit x und mit u vor. Schreiben Sie die Gleichung so um, dass m x und m u nebeneinanderstehen: y = m x - m u + v.
  7. Klammern Sie  m aus, Sie erhalten y = m (x - u) + v, das ist die Punktsteigungsformel der Geraden. Wenn Sie also eine Steigung kennen, im Beispiel 2 und einen Punkt im Beispiel P(2/3), setzen Sie das in diese Formel ein. y = 2 (x-2) + 3. Rechen Sie das aus y = 2 x - 4 + 3 und Sie bekommen die übliche Geradengleichung y = 2x - 1.
Bild 3

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