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Parabeln berechnen - so geht's

Parabeln berechnen - so geht's4:43
Video von Galina Schlundt4:43

Sie sollen aus drei Punkten die Funktionsgleichung für Parabeln berechnen. Das gelingt nach dieser Anleitung leicht. Allerdings sollten Sie Gleichungen mit mehreren Unbekannten (hier 3) lösen können.

Was Sie benötigen:

  • Papier und Bleistift
  • Taschenrechner
  • Lösungsverfahren für Gleichungssysteme (z. B. Einsetzungsverfahren, Additionsverfahren)

Parabeln aus drei Punkten bestimmen - so geht's

Parabeln sind Funktionen zweiten Grades bzw. quadratische Funktionen. Jede allgemeine Parabel lässt sich in der Form y = ax² + bx + c darstellen. Dabei sind a, b und c die Koeffizienten dieser Parabel, die letztendlich die Form und die Lage in einem Koordinatenkreuz bestimmen.

  1. Wenn Sie eine Parabel aus drei Punkten berechnen sollen, dann sind in dieser Aufgabe die Koordinaten von drei Punkten P1, P2 und P3 vorgegeben. Aus diesen Koordinaten sollen Sie aus allen möglichen Parabeln genau diejenige finden, die durch diese drei Punkte geht.
  2. Die Aufgabe läuft also darauf hinaus, dass Sie konkrete Werte für a, b und c berechnen (und damit die Parabel kennen). Allgemein gilt: Wenn eine Funktion (egal welche) durch einen Punkt gehen soll, dann müssen sowohl die x- als auch die y-Koordinate die Funktionsgleichung erfüllen.
  3. Dies können Sie ausnutzen: Setzen Sie (der Reihe nach, also zuerst P1, dann P2, dann P3) die Koordinaten der drei Punkte in die allgemeine Gleichung für Parabeln y = ax² + bx + c ein.
  4. Sie erhalten 3 Gleichungen (für jeden Punkt eine!) mit den Unbekannten a, b und c.
  5. Dieses Gleichungssystem können Sie nach einem Ihnen bekannten Verfahren (addieren, einsetzen, gleichsetzen) lösen und erhalten dadurch Werte für a, b und c. 

Parabel berechnen - ein Beispiel

  1. In diesem Beispiel seien P1 (1/1), P2 (-2/-3) und P3 (-4/0) die gegebenen Punkte, durch die die Parabel gehen soll.
  2. Nach der Anleitung ergeben sich die folgenden drei Gleichungen: Für P1: 1 = a + b + c (Sie setzen y = 1 und x = 1 ein). Für P2: -3 = 4a - 2b + c (Sie setzen y = -3 und x = -2 ein). Für P3: 0 = 16 a - 4 b + c (Sie setzen y = 0 und x = -4 ein).
  3. Diese drei Gleichungen mit den Unbekannten a, b und c können Sie nun lösen. 

Hinweis: In manchen Aufgaben sind nicht drei Punkte gegeben, sondern der Scheitel S der Parabel sowie ein weiterer Punkt P. Diese Aufgabe lässt sich mit der sog. Scheitelpunktform lösen. Allerdings ist es auch möglich, sich einen weiteren Punkt "zu beschaffen", indem man die Symmetrie der Parabel zum Scheitel S ausnutzt. Eine Skizze hilft hier weiter. Hat man diesen symmetrischen Punkt gefunden, kann das obige Verfahren zum Berechnen von Parabeln angewendet werden (und das Gleichungssystem ist i. A. einfacher zu lösen).

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