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Koeffizienten bestimmen - so geht's

Koeffizienten bestimmen - so geht´s3:47
Video von Bruno Franke3:47

Eine Aufgabe aus der Schulmathematik: Es sollen die Koeffizienten einer Funktion, als die Funktionsgleichung, bestimmt werden. Der einfachste Fall ist eine Parabel.

Koeffizienten einer Parabel bestimmen

  1. Sie sollen die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion (Parabel) berechnen. Und Sie kennen drei Punkte, durch die diese Parabel gehen soll.
  2. Da werden Sie es mit einem Gleichungssystem mit drei Unbekannten zu tun bekommen.
  3. Zunächst stellen Sie die gesuchte Funktionsgleichung allgemein auf:
  4. y = ax² + bx + c; x und y sind die Variablen dieser Funktion, statt y können Sie auch f(x), den Funktionswert der quadratischen Funktion) schreiben. a, b und c sind die sogenannten Koeffizienten, also Zahlenwerte, die den Verlauf der Parabel in einem Koordinatenkreuz bestimmen. Beispielsweise beschreibt "a" die Öffnung der Parabel.
  5. Aufgabe ist es nun, diese Koeffizienten a, b und c zu bestimmen, damit die gesuchte Parabel durch drei gegebene Punkte P1, P2 und P3 geht.
  6. Damit die Punkte auf der gesuchten Parabel liegen, müssen Sie die Funktionsgleichung erfüllen, das heißt Sie setzen einfach die x- und y-Koordinaten der Punkte ein.
  7. Wenn Sie dies für jeden der drei Punkte machen, erhalten Sie drei Gleichungen, für jeden Punkt eine. In diesen drei Gleichungen sind die Koeffizienten a, b und c die Unbekannten, die Sie dann ausrechnen sollen.
  8. Mit weniger als 3 Punkten lässt sich die quadratische Funktion übrigens nicht bestimmen. Ausnahme: Man kennt den Scheitel S und einen weiteren Punkt P.

Parabel aus 3 Punkten berechnen - Beispiel

  1. Sie sollen eine quadratische Funktion y = ax² + bx + c bestimmen, die durch die Punkte P1 (0/4), P2 (-1/-1) und P3 (2/8) geht. 
  2. Setzen Sie für jeden der drei Punkte jeweils den y- und x-Wert ein, so erhalten Sie das folgende Gleichungssystem:
  3. Für P1: 4 = a0² + b0 + c, als c = 4 (wunderbar, Sie haben bereits einen Koeffizienten erhalten; dies ist manchmal, aber nicht immer das Fall).
  4. Für P2: -1 = a(-1)² + b(-1) + c, also  -1 = a - b + 4 (Klammern auflösen; c = 4 schon eingesetzt)
  5. Für P3:  8 = a(2)² + b(2) + c,    also   8 = 4a + 2 b + 4 (ebenfalls Klammern aufgelöst und c eingesetzt)
  6. Um die Koeffizienten a und b (also die Unbekannten) in diesem Gleichungssystem zu erhalten, können Sie jetzt wahlweise das Additionsverfahren für die beiden Gleichungen oder das Einsetzungsverfahren wählen.
  7. Es ergibt sich für die beiden fehlenden Koeffizienten a= - 1 und b = 4
  8. Die gesuchte quadratische Funktion lautet also: y = -x² + 4x + 4. Hierzu müssen Sie die berechneten Koeffizienten a, b und c in die allgemeine Ausgangsgleichung y = ....... einsetzen.
  9. Das Ergebnis sollten Sie noch einmal überprüfen, Rechenfehler passieren leider (gerade bei Gleichungssystemen) relativ schnell. Setzen Sie die drei Punkte nacheinander noch einmal in die gefundene Parabel ein und prüfen Sie, ob die rechte Gleichung den linken y-Wert ergibt. 

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