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Scheitelpunktkoordinaten bei einer Parabel berechnen - so wird's gemacht

Bei Parabeln handelt es sich um die graphische Darstellung quadratischer Funktionen. Der Scheitelpunkt ist dabei der höchste oder tiefste Punkt der Parabel. Berechnen lassen sich die Scheitelpunktkoordinaten auf zweierlei Art.

Quadratische Funktionen stehen für Parabeln.
Quadratische Funktionen stehen für Parabeln.

Was Sie benötigen:

  • Grundkenntnisse Funktionen
  • Binomische Formeln (unbedingt vorher wiederholen)
  • und für die 2. Möglichkeit: Begriff der Ableitung

Scheitel einer Parabel - das sollten Sie wissen

  • Eine Parabel ist der Graph zu einer quadratischen Funktion, die in allgemeiner Form f(x) = y = ax² + bx + c lautet. Dabei sind a, b und c reelle Zahlen und "a" darf natürlich nicht Null sein.
  • Derartige Parabeln haben (abhängig vom Vorzeichen des Koeffizienten "a") einen höchsten oder tiefsten Punkt, der Scheitel genannt wird.
  • Führt man die Funktionsgleichung der Parabel in die sog. Scheitelpunktform über, kann man die Scheitelpunktkoordinaten aus dieser Gleichung einfach ablesen. 
  • Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion lautet y - ys = a(x - xs)². Bei sind xs und ys die gesuchten Scheitelpunktkoordinaten.

Scheitelpunktform - so berechnen Sie diese

Als Beispiel soll das Verfahren bei der quadratischen Funktion y = x² - 2x + 3 gezeigt werden. Dabei handelt es sich um eine nach oben geöffnete Parabel, der Scheitel ist also der Tiefpunkt.

  1. Bringen Sie zunächst die Konstante "3" nach links. Sie erhalten y - 3 = x² - 2x
  2. Nun ergänzen Sie den rechten Ausdruck entsprechend der zweiten binomischen Formel mit dem letzten quadratischen Glied. In diesem Fall erhalten Sie "1" als Ergänzung. Diese Zahl müssen Sie nun auf beiden Seiten der Gleichung addieren: y - 3 +1 = x² - 2x + 1
  3. Umformen ergibt y - 2 = (x - 1)². Hierbei handelt es sich bereits um die gewünschte Scheitelpunktform. Sie können die Scheitelpunktkoordinaten direkt ablesen (Vorzeichen beachten!): xs = 1 und ys = 2. Der Scheitel ist also S(1/2). 

Scheitelpunktkoordinaten mit der Ableitung berechnen - so geht's

Im Bereich der Oberstufenmathematik gibt es noch eine zweite, oft als einfacher empfundene Möglichkeit, die Scheitelpunktkoordinaten einer Parabel zu berechnen.

  • Dabei machen Sie Gebrauch von der ersten Ableitung f'(x) der quadratischen Funktion.
  • Da der Scheitel der höchste bzw. tiefste Punkt der Parabel ist, müssen Sie lediglich die Bedingung für einen Extremwert, nämlich f'(x) = 0, erfüllen und den dazugehörigen x-Wert berechnen. Der y-Wert des Scheitels ergibt sich dann aus der Funktionsgleichung.
  • Das Verfahren soll kurz am obigen Beispiel skizziert werden.
  • Es gilt f'(x) = 2x -2 = 0. Sie erhalten hieraus xs = 1 (wie oben) und ys= f(1) = 1² - 2 + 3 = 2 (ebenfalls wie oben).
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