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Funktionsgleichung aufstellen - so gelingt es für ein Polynom

Funktionsgleichung aufstellen - so gelingt es für ein Polynom3:49
Video von Galina Schlundt3:49

Schüler werden meist blass, wenn es darum geht, dass sie eine Funktionsgleichung aufstellen sollen, besonders wenn dabei so ein schreckliches Wort wie Polynom darin vorkommt. Keine Angst, die Aufgaben sind nicht so kompliziert, wie es auf den ersten Blick erscheint.

Grundsätzliches zu Funktionsgleichungen von Polynomen

Wenn Sie Funktionsgleichungen aufstellen sollen, bekommen Sie bestimmte markante Punkte der Funktion genannt, aus denen Sie die Gleichung errechnen können. Dazu müssen Sie natürlich grundsätzlich wissen, was eine solche Funktionsgleichung bedeutet:

  • Polynome haben die allgemeine Form f(x) = an xn + an-1 xn-1 + ...+ an-(n-1) xn-(n-1) + an-n xn-n = an xn + an-1 xn-1 + ...+ a1 x + a0. Beachten Sie: n-(n-1) = 1, n-n = 0 und x0 = 1 (Beispiel: f(x) = 2 x3 - 5 x2 - 6).
  • Sie müssen, um Funktionsgleichungen aufzustellen, diese in der Regel ableiten. Bilden Sie also die 1. und die 2. Ableitung der Funktionen. f'(x) = n an xn-1 + (n-1)an-1 xn-1-1 + ...+(n-(n-1)) an-(n-1) xn-(n-1)-1 +(n-n) an-n xn-n-1 = n an xn-1+ (n-1)an-1 xn-1-1 + ...+ 1 a1 x0 + 0 a0 =  n an xn-1+ (n-1)an-1 xn-2 + ...+ a1  (Beispiel: f'(x) = 6 x2 - 10 x).f''(x) = n (n-1) an xn-2+ (n-1)(n-2)an-1 xn-3 + ...+ a2 (Beispiel: f''(x) = 12 x - 10).
  • Das klingt kompliziert ist aber halb so wild. Das n entpricht dem Grad der Funktion. Sie müssen, wenn Sie die Funktionsgleichungen erstellen sollen, immer so viele Variablen bestimmen, wie der Grad der Funktion ist, plus eine. Beim 5. Grad gilt es also herauszufinden, welchen Wert die 6 Zahlen a5, a4, a3, a2, a1 und a0 haben.

Schlüsselwörter im Text beim Aufstellen richtig interpretieren:

  1. Schauen Sie bei den Aufgaben als Erstes, welchen Grad das Polynom hat. Der Grad, der Ihnen genannte wird, ist n. Wenn es heißt, dass es ein Polynom 5. Grades ist, dann setzen Sie für n = 5. Aus f(x) = an xn + an-1 xn-1 + ...+ a1 x + a0 wird dann f(x) = a5 x5 + a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0. Das sieht doch schon besser aus.
  2. Bilden Sie die Ableitungen: f'(x) = 5a5 x4 + 4a4 x3 + 3a3 x2 + 2a2 x+ a1 und f''(x) = 20a5 x3 + 12a4 x2 + 6a3 x+ 2a2 .
  3. Achten Sie als Nächstes darauf, ob etwas über eine Symmetrie gesagt wird. Symmetrie zum Ursprung bedeutet, dass es nur ungradzahlige Exponenten gibt. Symmetrie zur Y-Achse bedeutet, es gibt nur gradzahlige Exponenten. Ein Polynom 5. Grades mit Punktsymmetrie wird also zu f(x) = a5 x5 + 0 x4 + a3 x3 + 0x2 + a1 x + 0 = a5 x5 +  a3 x3 + a1 x. Sie sehen, Sie müssen nur noch 3 Variablen bestimmen. Entsprechend: Achsensymmetrie f(x) = a6x6 + 0 x5 + a4 x4 + 0x3 + a2 x2 + 0 x + a0 = a6x6 + a4 x4 + a2 x2 + a0. Das macht die Aufgaben schon deutlich leichter.
  4. Nun müssen Sie nach weiteren Schlüsselwörtern suchen. Extrema, Hochpunkt oder Tiefpunkt bedeuten, dass die 1. Ableitung in dem genannten x-Wert 0 ist. Sie erhalten also eine Gleichung der Form: f'(x) = 0. Wobei Sie den Zahlenwert von x in die 1. Ableitung der gegebenen Funktionsgleichung einsetzen müssen. Beispiel:  Extremwert bei x = 2, Polynom 5. Grades f(x) = a5 x5 + a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0, bedeutet f'(x) = 5a5 x4 + 4a4 x3 + 3a3 x2 + 2a2 x+ a1 ==> 0 = 5a5 24 + 4a4 23 + 3a3 22 + 2a2 2+ a1= 80 a5 + 32 a4 + 12 a3 + 4 a2 + a1.  Wenn Ihnen ein konkreter Punkt genannt wird, dann setzen Sie diesen entsprechend in f(x) ein.
  5. Schauen Sie nun nach dem Schlüsselwort Wendepunkt (die Krümmung ändert sich bei), in dem Fall müssen Sie dasselbe machen, wie bei den Extrema, nur dass es hierbei um die 2. Ableitung geht.
  6. Wenn Sie so konsequent den Text durchgehen, müssten Sie zum Schluss genauso viele lineare Gleichungen haben wie Sie Variablen bestimmen müssen.

Knifflige Formulierungen bei Funktionsgleichungen

  • Manchmal ist davon die Rede, dass die Gleichung eine Tangente hat. In dem Fall ist im Berührungspunkt die Steigung der Tangente gleich f'(x). Angenommen bei x = 2 gibt es eine Tangente, ist y = 3 x + 4, und das Polynom hat den 3. Grad, dann gilt: y = 6 + 4 = 10, f(x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0. f(2) = 10 = a3 23 + a2 22 + a1 2 + a0 = 8 a3 + 4 a2 + 2 a1 + a0 und f'(2) = 3 =  3a3 22 + 2a2 2+ a1 = 12 a3 + 4a2 + a1.
  • Manchmal bekommen Sie auch Formulierungen wie ein Polynom 3. Grades schneidet die Parabel mit der Funktionsgleichung f2(x) = x2 + 4x - 4 bei x1 = -1 , bei x2 = 2 und bei x3 = 5. Auch das sieht schlimmer aus, als es ist, denn Sie können 3 konkrete Werte für f(x) bestimmen, in dem Sie die genannten Werte in die Parabelgleichungen einsetzen: f2(-1) = (-1)2 + 4(-1) - 4 = -7 ==>f(-1) = -7 = a3 (-1)3 + a2 (-1)2 + a1 (-1)+ a0 ==> - a3 + a2 - a1 + a0 = -7.

Sie sehen, wenn Sie nur systematisch vorgehen, ist alles kein Problem. Zum Schluss bleiben immer ein paar einfache lineare Gleichungssysteme über.

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