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Scheitelpunktform in faktorisierte Form umformen - so klappt's bei einer Parabel

Scheitelpunktform in faktorisierte Form umformen - so klappt's bei einer Parabel2:30
Video von Anna-Maria Schuster2:30

Sie sollen die Funktionsgleichung einer Parabel von der Scheitelpunktform in die faktorisierte Form überführen. Für dieses Problem gibt es unterschiedliche Lösungsmöglichkeiten.

Was Sie benötigen:

  • Grundwissen "Parabeln"
  • Papier und Bleistift
  • Taschenrechner

Scheitelpunktform einer Parabel - das sollten Sie wissen

  • Jede quadratische Funktion der Form y = ax² + bx + c lässt sich in die sog. Scheitelpunktform y = a (x - xs)² + ys umformen, am einfachsten gelingt dies mit der quadratischen Ergänzung. Dies ist immer möglich, da jede Parabel einen Scheitel hat.
  • Aus der Scheitelpunktform lässt sich der Scheitel, sprich der höchste oder tiefste Punkt der Parabel, leicht ablesen, er ist nämlich S (xs / ys).

Faktorisierte Form - was ist das?

  • Dabei handelt es sich um eine sog. Linearfaktorzerlegung der quadratischen Funktion.
  • Die Parabelgleichung wird in diesem Fall mit zwei einfachen Klammern darstellt und hat die Form y = a (x - x1)*(x-x2). 
  • Dabei handelt es sich bei x1 und x2 um die beiden Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse) der Parabel, die verschieden, aber auch identisch sein können. 
  • Die faktorisierte Form existiert selbstredend nur dann, wenn die Parabel mindestens eine Nullstelle hat. Parabeln, die komplett oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegen, können in faktorisierter Form nicht dargestellt werden.

Scheitelpunktform in faktorisierte Form bringen - so können Sie vorgehen

Abhängig von der Aufgabenstellung gibt es mehrere Möglichkeiten, die Parabel von der Scheitelpunktform in die faktorisierte Form zu bringen, vorausgesetzt natürlich, diese existiert (s.o.).

  • Vielleicht nicht die Einfachste, aber eine rechnerisch gangbare Möglichkeit ist es, aus der Scheitelpunktform die Nullstellen x1 und x2 zu berechnen. 
  • Hierfür setzen Sie die Scheitelpunktform einfach gleich Null (schließlich wollen Sie ja die Nullstellen berechnen), bringen ys sowie a auf die andere Seite und ziehen die Wurzel aus beiden Gleichungsseiten. Beachten Sie, dass es sowohl eine negative als auch eine positive Wurzel gibt, woraus Sie die beiden Nullstellen erhalten.
  • Nun müssen Sie das gefundene Ergebnis für x1 und x2 nur noch in die faktorisierte Form (s. o.) einsetzen. 

Faktorisierte Form finden - ein durchgerechnetes Beispiel

Sie haben die Parabel in der Scheitelpunktform y = 1/2 (x - 3)² -1 vorliegen. Der Scheitel dieser Funktion liegt übrigens bei S (3/-1) (auf die Vorzeichen achten!).

  1. Setzen Sie die Scheitelpunktform Null und Sie erhalten 0 =  2 (x - 3)² -1.
  2. Rechnen Sie +1, sowie dann mal 2 und Sie erhalten 2 = (x - 3)².
  3. Nun ziehen Sie auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel (TR benutzen) und erhalten ± 1,41 (gerundet für Wurzel 2) = x - 3.
  4. Hieraus berechnen Sie die beiden Nullstellen x1 = 4,41 sowie x2 = 1,59. 
  5. Die faktorisierte Form dieser Parabel lautet daher y = 1/2 (x - 4,41)*(x-1,59).
helpster.de Autor:in
Dr. Hannelore Dittmar-Ilgen
Dr. Hannelore Dittmar-IlgenHannelore hat Mathematik, Physik sowie Chemie und Pädagogik studiert und erklärt diese schwierigen Themenfelder schon immer gerne ihren Mitmenschen. Auch über ihre Hobbys schreibt sie leidenschaftlich gerne, das können unsere Leser in den Kategorien Essen & Trinken sowie Handarbeit entdecken. Sie ist eine unserer fleißigsten Autorinnen der ersten Stunde von HELPSTER.