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Scheitelpunktform in faktorisierte Form umformen - so klappt's bei einer Parabel

Scheitelpunktform in faktorisierte Form umformen - so klappt's bei einer Parabel2:30
Video von Anna-Maria Schuster2:30

Sie sollen die Funktionsgleichung einer Parabel von der Scheitelpunktform in die faktorisierte Form überführen. Für dieses Problem gibt es unterschiedliche Lösungsmöglichkeiten.

Was Sie benötigen:

  • Grundwissen "Parabeln"
  • Papier und Bleistift
  • Taschenrechner

Scheitelpunktform einer Parabel - das sollten Sie wissen

  • Jede quadratische Funktion der Form y = ax² + bx + c lässt sich in die sog. Scheitelpunktform y = a (x - xs)² + ys umformen, am einfachsten gelingt dies mit der quadratischen Ergänzung. Dies ist immer möglich, da jede Parabel einen Scheitel hat.
  • Aus der Scheitelpunktform lässt sich der Scheitel, sprich der höchste oder tiefste Punkt der Parabel, leicht ablesen, er ist nämlich S (xs / ys).

Faktorisierte Form - was ist das?

  • Dabei handelt es sich um eine sog. Linearfaktorzerlegung der quadratischen Funktion.
  • Die Parabelgleichung wird in diesem Fall mit zwei einfachen Klammern darstellt und hat die Form y = a (x - x1)*(x-x2). 
  • Dabei handelt es sich bei x1 und x2 um die beiden Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse) der Parabel, die verschieden, aber auch identisch sein können. 
  • Die faktorisierte Form existiert selbstredend nur dann, wenn die Parabel mindestens eine Nullstelle hat. Parabeln, die komplett oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegen, können in faktorisierter Form nicht dargestellt werden.

Scheitelpunktform in faktorisierte Form bringen - so können Sie vorgehen

Abhängig von der Aufgabenstellung gibt es mehrere Möglichkeiten, die Parabel von der Scheitelpunktform in die faktorisierte Form zu bringen, vorausgesetzt natürlich, diese existiert (s.o.).

  • Vielleicht nicht die Einfachste, aber eine rechnerisch gangbare Möglichkeit ist es, aus der Scheitelpunktform die Nullstellen x1 und x2 zu berechnen. 
  • Hierfür setzen Sie die Scheitelpunktform einfach gleich Null (schließlich wollen Sie ja die Nullstellen berechnen), bringen ys sowie a auf die andere Seite und ziehen die Wurzel aus beiden Gleichungsseiten. Beachten Sie, dass es sowohl eine negative als auch eine positive Wurzel gibt, woraus Sie die beiden Nullstellen erhalten.
  • Nun müssen Sie das gefundene Ergebnis für x1 und x2 nur noch in die faktorisierte Form (s. o.) einsetzen. 

Faktorisierte Form finden - ein durchgerechnetes Beispiel

Sie haben die Parabel in der Scheitelpunktform y = 1/2 (x - 3)² -1 vorliegen. Der Scheitel dieser Funktion liegt übrigens bei S (3/-1) (auf die Vorzeichen achten!).

  1. Setzen Sie die Scheitelpunktform Null und Sie erhalten 0 =  2 (x - 3)² -1.
  2. Rechnen Sie +1, sowie dann mal 2 und Sie erhalten 2 = (x - 3)².
  3. Nun ziehen Sie auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel (TR benutzen) und erhalten ± 1,41 (gerundet für Wurzel 2) = x - 3.
  4. Hieraus berechnen Sie die beiden Nullstellen x1 = 4,41 sowie x2 = 1,59. 
  5. Die faktorisierte Form dieser Parabel lautet daher y = 1/2 (x - 4,41)*(x-1,59).

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