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Fünfersystem - so rechnen Sie damit

Fünfersystem - so rechnen Sie damit4:14
Video von Galina Schlundt4:14

Im Fünfersystem können Sie ebenso rechnen wie im gewohnten Zehnersystem. Dabei müssen Sie allerdings einige Besonderheiten beachten. Eine Umrechnung in das Zehnersystem und anschließende Rückrechnung ist nicht notwendig, kann aber zur Kontrolle erfolgen. Die Ergebnisse müssen übereinstimmen.

Was kennzeichnet das Fünfersystem?

  • Während wir im Alltag mit dem Zehnersystem rechnen, bei dem die zehn Ziffern von 0 bis 9 vorkommen, gibt es im Fünfersystem nur die Ziffern 0; 1; 2; 3 und 4. Zahlen des Fünfersystems werden durch eine tief gestellte 5 gekennzeichnet.
  • Bei der Umrechnung von Zahlen des Fünfersystems in das Zehnersystem werden die einzelnen Stellen mit den Potenzen der Zahl 5 multipliziert. Die letzte Stelle multiplizieren Sie mit der 1, also 50, die vorletzte mit der 5, die drittletzte mit der 25 und so weiter. Diese Ergebnisse addieren Sie.
  • Beispiel: Sie möchten (342)5 als Zahl des Zehnersystems schreiben. Sie rechnen: (1*2)+(5*4)+(25*3)=322.
  • Wenn Sie Zahlen aus dem Zehnersystem in das Fünfersystem umwandeln möchten, müssen Sie sie in Fünferpotenzen aufteilen. Sie beginnen dabei immer mit der größtmöglichen Fünferpotenz.
  • Beispiel: Sie möchten die Zahl 122 als Zahl des Fünfersystems schreiben. Sie überlegen, wie oft die 25 in die 122 passt. Den Rest teilen Sie auf die nächstkleineren Fünferpotenzen auf. Die 122 setzt sich zusammen aus 25*4+5*4+1*2. Im Fünfersystem wird die 122 demzufolge als (442)5 geschrieben.

Addition von Zahlen dieses Stellenwertsystems

  1. Sie können Zahlen des Fünfersystems schriftlich addieren. Wenn eines der Einzelergebnisse gleich oder größer 5 ist, subtrahieren Sie die 5 von diesem Ergebnis, schreiben den Rest in das Ergebnisfeld und „merken“ sich für eine 5 eine 1, die Sie im nächsten Schritt mit aufaddieren.
  2. Beispiel: Sie möchten (1431)5+(1221)5 berechnen. Schreiben Sie diese Zahlen untereinander und addieren Sie zuerst die letzten Stellen. Diese ergeben 2, die Sie in das Ergebnisfeld schreiben.
  3. Addieren Sie die vorletzten Stellen 3 und 2. Diese ergeben 5, die es ja im Fünfersystem nicht gibt. Deswegen schreiben Sie in das Ergebnisfeld 0 und merken sich eine 1 für den nächsten Schritt.
  4. Addieren Sie nun die 4, die 2 und die gemerkte 1. Sie erhalten 7. Davon ziehen Sie die 5 ab, schreiben das Ergebnis 2 in das Ergebnisfeld und merken sich wieder eine 1.
  5. Zuletzt addieren Sie die beiden ersten Stellen und die gemerkte 1. Das ergibt 3. Als Ergebnis dieser Additionsaufgabe erhalten Sie (3202)5.

So subtrahieren Sie im Fünfersystem

  1. Bei der schriftlichen Subtraktion rechnen Sie in den einzelnen Schritten immer nur bis zur 5 und nicht bis zur 10.
  2. Beispiel: Als Umkehraufgabe des obigen Beispiels möchten Sie (3202)5-(1221)5 rechnen. Schreiben Sie die Zahlen untereinander und beginnen Sie bei der letzen Stelle. Von der 1 bis zur 2 fehlen 1, die Sie in das Ergebnisfeld schreiben.
  3. Gehen Sie zur vorletzten Stelle über. Im Zehnersystem würden Sie die 0 als 10 betrachten. Im Fünfersystem betrachten Sie sie als 5. Von der 2 bis zur 5 fehlen 3, die Sie in das Ergebnisfeld schreiben. Da die Fünfergrenze überschritten wurde, merken Sie sich eine 1.
  4. Beim Berechnen der drittletzten Stelle addieren Sie die gemerkte 1 zur 2. Sie müssen nun ermitteln, wie viel von der 3 bis zur 2 fehlt. Zählen Sie zunächst wieder bis zur 5, das sind 2, und rechnen Sie die obere 2 dazu. In das Ergebnisfeld schreiben Sie 4 und merken sich die 1.
  5. Im letzten Schritt addieren Sie die gemerkte 1 zur 1 der unteren Zahl und ziehen diese 2 von der oberen 3 ab. Als Ergebnis der Aufgabe erhalten Sie (1431)5.

Die Multiplikation von Zahlen des Fünfersystems

  1. Angenommen, Sie wollen die Aufgabe (321)5*(4)5 rechnen. Beginnen Sie bei der letzten Stelle. Rechnen Sie 4*1, das ergibt 4 und ist kleiner als 5. Die 4 können Sie somit in das Ergebnisfeld schreiben.
  2. Im nächsten Schritt rechnen Sie 4*2=8. Die 8 ist größer als 5. Schreiben Sie die Differenz 3 in das Ergebnisfeld und merken Sie sich eine 1, da die 5 einmal in die 8 passt.
  3. Nun rechnen Sie 4*3=12. Sie addieren die gemerkte 1 und erhalten 13. Die nächstkleinere Zahl, die durch 5 teilbar ist, ist die 10. Der Abstand zur 10 ist 3, also schreiben Sie die 3 in das Ergebnisfeld. Da die 5 zweimal in die 10 passt, merken Sie sich eine 2.
  4. Betrachten Sie die nächste Stelle als 0 und addieren Sie die gemerkte 2, die Sie in das Ergebnisfeld schreiben. Als Ergebnis erhalten Sie (2334)5.
  5. Falls der zweite Faktor mehrstellig ist, addieren Sie die Teilergebnisse, wie oben beschrieben.

So gelingt die Division

  1. Für die schriftliche Division im Fünfersystem ist es sinnvoll, zunächst einige Produkte des Divisors zu berechnen und zu notieren. Als Beispiel dient die Umkehraufgabe der Multiplikation: (2334)5:(4)5.
  2. Berechnen Sie die voraussichtlich benötigten Produkte: (4)5*(1)5=(4)5; (4)5*(2)5=(13)5 und (4)5*(3)5=(22)5.
  3. Beginnen Sie nun die schriftliche Division: Anstatt (23)5:(4)5 rechnen Sie (22)5:(4)5=(3)5, denn das erkennen Sie aus dem im letzen Schritt errechneten Produkt. Schreiben Sie die 3 in das Ergebnisfeld, die 22 unter die 23 und den Rest 1 darunter.
  4. Ziehen Sie die 3 herunter. Sie müssen jetzt (13)5:(4)5 rechnen. Aus dem zweiten Schritt erkennen Sie, dass das Ergebnis (2)5 ist und kein Rest bleibt. Schreiben Sie die 2 in das Ergebnisfeld.
  5. Der letzte Schritt, (4)5:(4)5, ergibt 1. Das Ergebnis lautet (321)5.

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