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Kombinationsmöglichkeiten berechnen - so gehen Sie vor

Kombinationsmöglichkeiten berechnen - so gehen Sie vor3:51
Video von Galina Schlundt3:51

Nicht nur in der Schule, sondern auch im Alltag gibt es Situationen, wo Sie sich vielleicht schon einmal gefragt haben, wie viele Kombinationsmöglichkeiten es eigentlich gibt. Wissen Sie, wie viele vierstellige PINs gebildet werden können oder wie viele Zahlenkombinationen beim Lotto möglich sind? Diese Möglichkeiten lassen sich berechnen, allerdings müssen Sie dabei die Voraussetzungen beachten.

Wenn Sie Kombinationsmöglichkeiten berechnen möchten, müssen Sie darauf achten, ob die Reihenfolge der Objekte eine Rolle spielt und ob einzelne Objekte mehrfach verwendet werden können. Die Kombinatorik unterscheidet hier drei Möglichkeiten, wobei immer aus einer festgelegten Anzahl verschiedener Objekte eine Kombination mit einer ebenfalls festgelegten Anzahl an Objekten gebildet wird.

Kombinationsmöglichkeiten bei Mehrfachverwendung und Berücksichtigung der Reihenfolge

  • Bei diesem Modell können die einzelnen Objekte mehrfach verwendet werden. Die Reihenfolge spielt eine Rolle.
  • Ein Beispiel ist die Frage, wie viele vierstellige Ziffernfolgen, zum Beispiel für eine PIN, aus den zehn Ziffern gebildet werden können. Die einzelnen Ziffern können mehrfach vorkommen und die Reihenfolge ist natürlich auch wichtig.
  • Sie berechnen diese Kombinationsmöglichkeiten, indem Sie die Anzahl der verfügbaren Objekte mit der Größe der Auswahl potenzieren.
  • Für das Beispiel bedeutet das, dass Sie 10 hoch 4 rechnen müssen. Es gibt also 10.000 Möglichkeiten, aus zehn Ziffern eine vierstellige PIN zu bilden.

Einmalige Verwendung und Berücksichtigung der Reihenfolge

  • Dieses Modell geht davon aus, dass in jeder Kombinationsmöglichkeit jedes Objekt nur einmal vorkommt. Die einzelnen Kombinationsmöglichkeiten werden, ebenso wie beim ersten Modell, auch durch ihre Reihenfolge charakterisiert.
  • Ein Beispiel: Es sollen Kugelschreiber aus den drei Bestandteilen Gehäuse, Clip und Druckknopf zusammengebaut werden. Dafür stehen alle Teile in den Farben schwarz, weiß, blau und silber zur Verfügung. Wie viele verschiedene Kugelschreiber können montiert werden, wenn jeder aus drei verschiedenfarbigen Teilen zusammengesetzt werden soll? Pro Kugelschreiber wird jede Farbe nur einmal verwendet. Die Reihenfolge spielt auch eine Rolle, da es von Bedeutung ist, ob beispielsweise das Gehäuse schwarz ist oder der Druckknopf.
  • Diese Kombinationsmöglichkeiten berechnen Sie mit der Formel n!/(n-k)!. Die Anzahl der zur Verfügung stehen Möglichkeiten wird dabei mit „n“ bezeichnet, „k“ steht für die Größe der Auswahl. Das Ausrufezeichen bezeichnet die mathematische Funktion „Fakultät“, die Sie auf vielen Taschenrechnern finden. Zur Erklärung: 5!=1*2*3*4*5=120.
  • Die Formel für das Beispiel lautet also: 4!/(4-3)!=24. Vierundzwanzig verschiedene Kugelschreiber können montiert werden, wenn jedes Teil eine andere Farbe haben soll.

Möglichkeiten bei einmaliger Verwendung und beliebiger Reihenfolge berechnen

  • Hier wird jedes Objekt nur einmal verwendet, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt.
  • Ein typisches Beispiel ist Lotto, beispielsweise 6 aus 49. Sie können jede Zahl nur einmal tippen. Die Reihenfolge, in der die Zahlen gezogen werden, ist für einen Gewinn nicht ausschlaggebend.
  • Für die Berechnung dieser Kombinationsmöglichkeiten verwenden Sie den Binomialkoeffizienten n über k, den Sie mit einigen Taschenrechnern berechnen können. Steht Ihnen diese Möglichkeit nicht zur Verfügung, verwenden Sie die Formel n!/((n-k)!*k!).
  • Für das Lotto-Beispiel rechnen Sie also: 49!/((49-6)!*6!)=13.983.816. So viele Möglichkeiten haben Sie, wenn Sie sechs Zahlen aus 49 auswählen sollen.

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