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12 Mannschaften: Paarungsmöglichkeiten - Rechentipps

Besuchen Sie in diesem Semester eine Statistikvorlesung und tun sich besonders in der Kombinatorik schwer? Es geht wirklich vielen Studenten so. Sie können Ihr Verständnis prüfen, indem Sie sich beispielsweise überlegen, wieviele Paarungsmöglichkeiten es bei 12 Mannschaften gibt, wenn immer 2 Mannschaften gegeneinander antreten.

Wahrscheinlichkeitsrechnung ist bei vielen Fragestellungen nicht ganz einfach!
Wahrscheinlichkeitsrechnung ist bei vielen Fragestellungen nicht ganz einfach!

Was Sie benötigen:

  • Basiswissen Kombinatorik
  • Setzkastenmodell

Paarungsmöglichkeiten für das Aufeinandertreffen von Mannschaften

Sie werden wahrscheinlich nicht sofort wissen, wie Sie die Problemstellung angehen können. Haben Sie jedoch erst einmal das richtige Werkzeug parat, so ist die Lösung schnell gefunden und Sie können berechnen, wieviele Paarungsmöglichkeiten es für das Aufeinandertreffen von 12 Mannschaften gibt.

  • Nehmen Sie an, dass Ihre 12 Mannschaften 12 Kugeln entsprechen, die sich wie bei der Auslosung der DFB-Pokal-Spiele in einer Urne befinden. Die Kugeln sind von außen alle gleich. Nach dem Ziehen werden die Kugeln geöffnet und in einen Setzkasten gelegt. Es gibt also jede Mannschaft genau ein Mal.
  • Das Setzkastenmodell wenden Sie nun auch für Ihren Fall an. Es gibt insgesamt sechs Plätze in Ihrem Setzkasten, die den einzelnen Partien entsprechen. Tun Sie nun so, als ob Sie die Partien nacheinander ziehen (ohne zurücklegen). Für jeden Platz ziehen Sie zwei Kugeln.
  • Nehmen Sie darüber hinaus an: Jeder Platz entspricht einem Stadion. Es gibt also einen Unterschied, ob die Begegnung BVB gegen FCB an Position 1 oder 3 gezogen wird.

Berechnung für 12 Mannschaften

  • Für den ersten Platz in Ihrem Setzkasten gibt es nun 12 über 2, also 66 Möglichkeiten.
  • Da für den zweiten Platz bereits zwei Kugeln weniger in der Urne sind, gibt es für diesen noch 10 über 2 Möglichkeiten.
  • Dementsprechend gibt es für den dritten Platz noch 8 über 2, für den vierten Platz 6 über 2, für den fünften Platz 4 über 2 und für den sechsten Platz 2 über 2 Möglichkeiten. Im letzten Schritt gibt es also nur noch eine Möglichkeit, denn es ist ja klar, dass durch das Ziehen im vorletzten Schritt die letzte Partie bereits determiniert wurde.
  • Möchten Sie nun alle Paarungsmöglichkeiten berechnen, so müssen Sie das Produkt dieser Binomialkoeffizienten bilden. (12 über 2) x (10 über 2) x (8 über 2) x (6 über 2) x (4 über 2) x (2 über 2) = 66*45*28*15*6*1 = 7484400 Paarungsmöglichkeiten.
  • Sind Sie nun schon am Ziel? Nicht ganz, Sie sollten sich zunächst einmal Gedanken machen, ob Sie sämtliche Anforderungen abgedeckt haben.
  • In diesem Beispiel haben Sie z. B. keinen Unterschied gemacht, welche Mannschaft Heimrecht hat und welche nicht. Möchten Sie dies mit einbeziehen, erhöht sich natürlich die Anzahl der Paarungsmöglichkeiten (in jedem Schritt doppelt so viele).

Es fallen Möglichkeiten weg, wenn Sie keinen Unterschied machen, ob eine Partie in Position 1 oder später gezogen wird. Die Paarungsmöglichkeiten können Sie sich aber ebenso einfach erarbeiten, wenn Sie sich zunächst den Fall mit 4 Mannschaften ansehen und nach und nach auf 12 Mannschaften steigern.

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