Lotto - Zahlen ziehen ohne Zurücklegen

Beim Lotto liegen in einer Art Lostrommel Kugeln, die die Zahlen 1 bis 49 tragen. Sechsmal wird eine dieser Zahlen nacheinander aus der Trommel gezogen, dabei wird keine der Kugeln zurückgelegt. Die Frage ist natürlich, mit welcher Wahrscheinlichkeit man mit einem vorher abgegebenen Tipp "Lottokönig" wird, sprich "6 Richtige" getippt hat. 

  • Beim Ziehen der Zahlen kommt es nicht auf die Reihenfolge an. Wer die Ziehung der Lottozahlen einmal im Fernsehen verfolgt hat, weiß, dass am Ende der Ziehung die 6 gezogenen Zahlen - der Übersichtlichkeit halber - nach Größe geordnet werden. Sie könnten also im Prinzip gleich alle 6 Zahlen ziehen, was jedoch technisch schwieriger zu gestalten wäre (und natürlich nicht so spannend für den mitfiebernden Zuschauer).
  • Vom Standpunkt der Wahrscheinlichkeitsrechnung handelt es sich hierbei um ein Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Der Binomialkoeffizient "n über k" gibt Auskunft darüber, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge von n Zahlen k zu ziehen.
  • Beim Lotto wird aus der Menge n = 49 Zahlen eine (ungeordnete) Stichprobe mit k = 6 Zahlen gezogen, ohne Zurücklegen. Dementsprechend gibt es "49 über 6" Möglichkeiten, dies zu tun. Diesen umfangreichen Binomialkoeffizienten (in der üblichen Übereinanderschreibweise hier leider nicht darstellbar) können Sie mit dem Taschenrechner lösen, aber auch in einem Tafelwerk nachschauen. Das genaue Ergebnis lautet "49 über 6" ist 13.983.816, also rund 14 Millionen Möglichkeiten (und nur eine davon trifft ins Schwarze!). Entsprechend stehen Ihre Gewinnchancen - wie oft formuliert - 1 zu 14 Mio.

Wahrscheinlichkeiten und Gewinnchancen beim Lotto

  • Die Wahrscheinlichkeit, dass genau Sie diesen richtigen Tipp abgegeben haben, ist also p ≈ 1/(14 Mio) = 7 * 10-8, also wirklich verschwindend gering. Oder anders formuliert: Geben Sie mehr als 13,9 Millionen verschiedene (!) Tipps ab, und Sie sind dabei.
  • Aber wie groß sind die Gewinnchancen für die weniger spektakulären Ereignisse, beispielsweise für 5 oder 4 Richtige? Auch dieses Problem lässt sich mit dem Binomialkoeffizienten lösen.
  • Sie wissen ja bereits, dass beim Lotto knapp 14 Mio. Tipps möglich sind. Sie müssen also nur noch berechnen, wie viele dieser Tipps für das Ereignis "5 Richtige" (bzw. "4 Richtige") günstig ist, sich also unter den 6 gezogenen Kugeln 5 passende und 1 unpassende befinden (bzw. 4 passende und 2 unpassende).
  • Hierfür gibt es im ersten Fall "6 über 5" x "43 über 1" Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit für 5 Richtige ist also p5 = ("6 über 5" x "43 über 1") /("49 über 6") = 0,000018 oder weniger als 0,002 %.
  • Im Fall von 4 Richtigen berechnen Sie p4 = ("6 über 4" x "43 über 1")/("49 über 6") ≈ 0,001 bzw. 0,1 %.
  • Lassen Sie sich also nicht beirren, wenn Ihnen jemand die (!) Gewinnchance verspricht. Selbst für 3 Richtige beträgt die Wahrscheinlichkeit noch unter 2 %. Und: Mehr als 40 % der Tipps haben überhaupt keine einzige Zahl richtig!