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Ähnlichkeitsfaktor k - so berechnen Sie ihn

Ähnlichkeitsfaktor k - so berechnen Sie ihn3:23
Video von Galina Schlundt3:23

Möchten Sie wissen, wie man den Ähnlichkeitsfaktor k berechnet? Bei dieser Größe handelt es sich um das Maß der Streckung oder Stauchung ähnlicher geometrischer Figuren. Wie Sie bei der Berechnung vorgehen, hängt davon ab, welche Größen Ihnen gegeben sind.

Was versteht man unter dem Ähnlichkeitsfaktor k?

Zunächst müssen Sie wissen, was man in der Geometrie unter Ähnlichkeit versteht:

  • Zwei Figuren sind sich ähnlich, wenn die eine Figur durch zentrische Stauchung oder Streckung und/oder durch Verschiebung, Drehung oder Spiegelung aus der anderen Figur hervorgehen kann.
  • Ähnliche Figuren müssen nicht kongruent, also deckungsgleich sein. Kongruente Figuren sind aber immer ähnlich.
  • Bei ähnlichen Figuren stimmen die Seitenverhältnisse und die Winkel überein. Kreise sind immer einander ähnlich, da ein Kreis durch eine zentrische Streckung oder Stauchung immer in einen anderen Kreis übergehen kann.
  • Der Ähnlichkeitsfaktor k ist nichts anderes als das Maß der Stauchung oder Streckung. Wenn der Ähnlichkeitsfaktor k gleich 1 ist, sind die Figuren kongruent. In diesem Fall wurden sie nicht gestaucht oder gestreckt. Ist der Ähnlichkeitsfaktor k größer als 1, erfolgte eine Streckung, ist er kleiner als 1, wurde die Figur gestaucht.

So berechnen Sie den Ähnlichkeitsfaktor

  • Wenn Ihnen von einem beliebigen Vieleck mindestens eine Seitenlänge und die entsprechende Seitenlänge des ähnlichen Vieleckes gegeben sind, berechnen Sie den Ähnlichkeitsfaktor k, indem Sie die Seitenlänge der ähnlichen Figur durch die Seitenlänge der Ausgangsfigur teilen. Durch Multiplikation mit dem Ähnlichkeitsfaktor k können Sie dann aus allen anderen Seitenlängen der Ausgangsfigur die Seitenlängen der ähnlichen Figur berechnen.
  • Beispiel: Gegeben ist ein Dreieck mit den Seitenlängen a1=6 cm, b1=3 cm und c1=4 cm. Die Seitenlänge a2 des ähnlichen Rechteckes beträgt 12 cm. Den Ähnlichkeitsfaktor berechnen Sie, indem Sie a2 durch a1 teilen, also 12 cm durch 6 cm. Der Ähnlichkeitsfaktor k beträgt in diesem Fall 2. Durch Multiplikation mit 2 können Sie die anderen beiden Seitenlängen des ähnlichen Dreieckes ermitteln. Die Seite b2 ist demzufolge 6 cm und die Seite c2 ist 8 cm lang.
  • Sie können den Ähnlichkeitsfaktor k auch ermitteln, wenn Ihnen nicht die Seitenlängen, sondern die Flächeninhalte A1 und A2 der beiden Figuren gegeben sind. Dabei kann es sich um beliebige Vielecke handeln. Wenn Sie den Ähnlichkeitsfaktor k in die Formeln zur Flächeninhaltsberechnung für Rechtecke und Dreiecke integrieren, ergibt sich in beiden Fällen die Formel A2=k2•A1. Diese Formel gilt auch für alle anderen Vielecke, da diese sich in Rechtecke und Dreiecke zerlegen lassen.
  • Demzufolge können Sie den Ähnlichkeitsfaktor k aus den beiden Flächeninhalten berechnen, indem Sie A2 durch A1 teilen und aus diesem Quotienten die Wurzel ziehen.
  • Beispiel: Gegeben sind der Flächeninhalt A1 der Ausgangsfigur mit 3 cm2 und der Flächeninhalt A2 der ähnlichen Figur mit 27 cm2. Der Ähnlichkeitsfaktor k beträgt in diesem Fall 3.
  • Bei Kreisen berechnen Sie den Ähnlichkeitsfaktor mithilfe des Radius. Es gilt: k=r2/r1. Das gilt auch für Kreissektoren mit einem gleichen Mittelpunktswinkel.

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