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Scheitelpunktfunktion aufstellen - so gehen Sie vor

Autor: Patricia Mevissen
Mathematik muss kein Angst-Fach sein.
Mathematik muss kein Angst-Fach sein.
Ein bekanntes Problem - Sie haben den Scheitelpunkt und einen weiteren Punkt vorgegeben und sollen damit die Scheitelpunktfunktion einer Parabel bestimmen. Alternativ kann es natürlich auch sein, dass Sie die Funktion einer Parabel mit Hilfe von drei Punkten ausrechnen sollen. So wird es gemacht.

So bestimmen Sie die Scheitelpunktfunktion mit dem Scheitelpunkt

  1. Die einfachste Möglichkeit eine Scheitelpunktfunktion liegt vor, wenn Sie den Scheitelpunkt der Parabel und einen weiteren Punkt, der auf der Parabel liegt, kennen.
  2. Der Scheitelpunkt hat allgemein die Form S(d/e). Der andere Punkt wird allgemein als P(x/y) angegeben.
  3. Die Scheitelpunktfunktion lautet allgemein f(x) = a (x - d)2 + e. Setzen Sie d,e,x und y (entspricht f(x)) in die allgemeine Scheitelpunktfunktion ein. 
  4. Nun müssen Sie nur noch die Gleichung nach a auflösen. Haben Sie dies geschafft, setzen Sie a,d und e in die allgemeine Scheitelpunktfunktion ein.
  5. Beispiel: Sie haben den Scheitelpunkt S (2/2) und den Punkt P (4/-2). In die allgemeine Scheitelpunktfunktion eingesetzt ergibt dies: -2 = a (4 - 2)2 - 2. Vereinfacht wird daraus -4 = 4a . Dividiert durch 4 erhalten Sie a = -1. Mit a, d und e in die Scheitelpunktfunktion eingesetzt erhalten Sie die Funktion f(x) = -1 (x - 2)2 - 2 .

Die Parabelfunktion mit drei Punkten bestimmen

Wenn Sie mit drei Punkten P(x/y) eine Parabel bestimmen wollen, müssen Sie die Normalfunktion verwenden. Diese lautet allgemein f(x) = ax2 + bx + c. Setzen Sie den ersten Punkt in die Funktion ein, um die erste Gleichung zu erhalten. Mit dem zweiten Punkt bekommen Sie die zweite und mit dem dritten Punkt die dritte Gleichung. Mit den drei Gleichungen haben Sie ein lineares Gleichungssystem. Ziehen Sie einen Strich unter die drei Gleichungen und berechnen Sie das Gleichungssystem wie folgt:

  1. Schreiben Sie die erste Gleichung unverändert ab. Ziehen Sie von der Gleichung II die erste Gleichung ab, sodass sie die Gleichung IIa erhalten, die kein c enthält. Subtrahieren Sie auch von der Gleichung III die erste Gleichung und Sie erhalten auch hier die Gleichung IIIa ohne c. Ziehen Sie nun einen Strich unter diese drei Gleichungen.
  2. Schreiben Sie die erste Gleichung erneut unverändert ab. Auch die IIa können Sie unverändert übertragen. Berechnen Sie nun die Differenz zwischen dem x2-fachen von IIIa und dem x3-fachen von IIa und Sie erhalten eine Gleichung IIIb ohne b und c. Somit können Sie einfach a ausrechnen.
  3. Setzen Sie a in die Gleichung IIa ein um b auszurechnen. Zuletzt müssen Sie nur noch a und b in die Gleichung I einsetzten und Sie können leicht c berechnen.
  4. Wenn Sie a, b und c in die allgemeine Normalform einsetzten, erhalten Sie die Funktion der Parabel, die durch die drei Punkte verläuft.
  5. Wenn Sie hier auch die Scheitelpunktfunktion benötigen, müssen Sie die Normalform in die Scheitelpunktform umformen.
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