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Steigung in einem Punkt berechnen - so geht's bei einer nichtlinearen Funktion

Steigung in einem Punkt berechnen - so geht's bei einer nichtlinearen Funktion2:40
Video von Galina Schlundt2:40

Ob beim Rodeln, beim Wandern in den Alpen oder im Mathematikunterricht - überall können Sie Steigungen begegnen. In der Analysis berechnen Sie die Steigung einer linearen Funktion mithilfe des sogenannten Steigungsdreiecks. Doch wie sieht die Berechnung des Anstiegs in einem Punkt bei nichtlinearen Funktionen aus?

Exkurs - Steigung einer lineare Funktionen berechnen

  • Eine lineare Funktion ist eine Zuordnung, dessen Graph eine Gerade darstellt. Die allgemeine Formel der linearen Funktion lautet f(x) = m·x + b.

  • Dabei gibt m die Steigung der Geraden an. Mit einem Steigungsdreieck lässt sich m ganz leicht berechnen. Dabei ist m gleich y2 minus y1 durch x2 minus x1 (kurz: m gleich Delta y durch Delta x). Das b zeigt an, an welcher Stelle die Ordinatenachse geschnitten wird.
  • Das Berechnen der Steigung bei einer nichtlinearen Funktion in einem Punkt ist aufwendiger. Würden Sie bei einer nichtlinearen Funktion wie bei einer linearen Funktion vorgehen und einen willkürlich ausgesuchten zweiten Punkt einzeichnen, so käme kein eindeutiges Ergebnis zustande. Der Grund hierfür ist die Krümmung der Funktion, welche an einigen Stellen einen steileren und an anderen Punkten einen flacheren Anstieg verzeichnet. Hier müssen Sie auf den Grenzwert (Limes) oder die 1. Ableitung zurückgreifen.

Steigung von nichtlinearen Funktionen in einem Punkt

  • Um die Steigung einer nichtlinearen Funktion in einem Punkt P1 mit den Koordinaten x0 / f(x0) zu berechnen, suchen Sie sich einen zweiten Punkt P2 mit x0+Delta x / f(x0+Delta x). Beachten Sie, dass P2 dem ersten Punkt so angenähert ist, dass er gegen Null strebt und fast auf P1 liegt.

  • Sie bilden also den Grenzwert (auch Limes genannt). Zeichnen Sie durch diese Stelle als nächstes eine Tangente. Da beide Punkte so dicht beieinander liegen, können Sie nun wieder auf das Steigungsdreieck zurückgreifen. Die Steigungsformel, welche Sie schon bei den linearen Funktionen kennengelernt haben, ist mit dem Grenzwert noch entsprechend anzupassen. Die Formel lautet jetzt: Limes von Delta x gegen Null gleich f(x0+Delta x) - f(x0) durch Delta x. Zugleich ist dies die 1. Ableitung.

Steigung mit der 1. Ableitung berechnen

  • Die Steigung einer nichtlinearen Funktion in einem Punkt können Sie auch direkt berechnen, indem Sie die 1. Ableitung bilden. Die 1. Ableitung von der Ausgangsfunktion f(x) ist f'(x) (die 2. Ableitung entsprechend f''(x), die 3. Ableitung f'''(x) usw.).

  • Bei der Berechnung der 1. Ableitung schreiben Sie in die erste Zeile die Ausgangsfunktion (z.B.  f(x) = 5x4). In der zweiten Zeile folgt dann die 1. Ableitung. Dazu müssen Sie den Koeffizienten einfach mit dem Exponenten multiplizieren. Zudem ziehen Sie -1 vom Exponenten ab. Die nächste Zeile lautet f'(x) = (5 mal 4)x(4-1). Die 1. Ableitung der Funktion f(x) = 5x4 ist also f'(x) = 20x3.

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