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Allgemeine Sinusfunktion - so bestimmen Sie Koeffizienten

Die allgemeine Sinusfunktion enthält 4 Koeffizienten, die Auswirkungen auf den Verlauf des Graphen haben. Wenn Sie diese bestimmen sollen, hilft es zu wissen, welche Veränderungen die Koeffizienten bewirken.

So können Sie die Parameter der allgemeinen Sinusfunktion bestimmen
So können Sie die Parameter der allgemeinen Sinusfunktion bestimmen

Veränderungen der Sinusfunktion durch die Koeffizienten

Die allgemeine Sinusfunktion hat die Funktionsgleichung f(x)=a sin (bx+c)+d. Verdeutlichen Sie sich, welche Wirkungen die Parameter a, b, c und d auf die Funktion f(x)=sin x haben.

  • Der Graph der Funktion f(x)= geht durch die Punkte (0, 0), (0,5pi/1), (pi/0), (1,5pi/-1), (2pi/0) und so weiter. Er schwingt also um die x-Achse mit einer Amplitude von 1. Anders ausgedrückt: Die Hochpunkte haben den y-Wert 1, die Tiefpunkte den Wert -1. Der Parameter a bestimmt die Amplitude, der y-Wert der normalen Sinusfunktion wird also mit a multipliziert.
  • Wie Sie an der Normalform sehen können, beträgt die Periode der Funktion 2pi. Der Parameter b ändert diese Periodenlänge. Angenommen, der Wert von b wäre 2, dann wird der Wert von 2pi schon erreicht, wenn x=pi ist. Aus der Periode p=2pi wird also eine Periode von p=2pi/b.
  • Betrachten Sie nun die Veränderung, die durch c verursacht wird. f(x)=sin (x+c). Wenn Sie nun für sich die Hochpunkte, die Tiefpunkte und die Durchgänge durch die x-Achse ansehen, werden Sie feststellen, dass diese sich um den Parameter c verschieben. Statt (0,0) haben Sie den Punkt (-c,0). Für die Funktion f(x)=sin (b x + c) ist die Verschiebung -c/b.
  • Jetzt untersuchen Sie noch, welche Auswirkungen der letzte Koeffizient d hat. Auch das erkennen Sie recht gut, wenn Sie die genannten speziellen Punkte betrachten. (0,0) wird zu (0,d), (0,5pi,1) zu (0,5pi,1+d). Die Achse, um die der Graph schwingt, ist also um d verschoben.

Parameter der allgemeinen Funktion bestimmen

  1. Betrachten Sie die y-Werte des Hochpunktes und des Tiefpunktes. Genau in der Mitte der beiden Werte befindet sich die Achse, um die die Funktion schwingt. Angenommen, Sie haben H(x/4) und T(x/-1), dann ist die Mitte bei  0,5(4+(-1))=1,5. Die Achse liegt also bei 1,5. Daraus folgt, dass d=1,5 ist.
  2. Die normale Amplitude ist 1, die Kurve schwingt von 1 bis -1, in dem Fall schwingt die Kurve von 4 bis -1, die Amplitude ist also 0,5(4-(-1))=2,5, der Koeffizient a ist a=2,5.
  3. Untersuchen Sie nun die Periode, also die Länge zwischen zwei nebeneinanderliegen Durchgängen durch die Schwingungsachse. Angenommen, diese Länge wäre 2pi. Die übliche Länge wäre aber pi, also ist der Parameter b= 2pi/pi = 2. Teilen Sie den Abstand zwischen zwei Nulldurchgängen einfach durch pi.
  4. Jetzt brauchen Sie den Abstand zwischen dem ersten Schnittpunkt mit der Schwingungsachse und zu x=0. Dieser Abstand ist c/b. Da b bekannt ist, können Sie daraus c errechnen.

Mit etwas Übung können Sie die Parameter der allgemeinen Funktion ohne große Rechnungen ermitteln.

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